Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(AD = DC = a\) và \(AB =

Câu hỏi số 385324:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\), \(AD = DC = a\) và \(AB = 2AD\). Biết \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\frac{{a\sqrt {15} }}{4}\)

B. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

D. \(\frac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385324

Phương pháp giải

- Chứng minh \(BC \bot \left( {SAC} \right)\).

- Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Áp dụng hệ thức lượng và định lí Pytago tính \(AH\).

Giải chi tiết

Gọi \(E\) là trung điểm của \(AB\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AE = \frac{1}{2}AB = a = CD\\AE\parallel CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow AECD\) là hình hình hành.

Lại có \(\angle ADC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\) nên \(AECD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow CD = AD = a\).

\( \Rightarrow CE = \frac{1}{2}AB\), do đó tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\) (Định lí đường trung tuyến) \( \Rightarrow AC \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AC\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow BC \bot \left( {SAC} \right)\).

Trong \(\left( {SAC} \right)\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SC\\AH \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {SAC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ACD\) có: \(AC = \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} = a\sqrt 2 \).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAC\) có:

\(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)\( = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}}\)\( = \frac{{3{a^2}}}{2}\) \( \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.