Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng tồn tại hai điểm

Câu hỏi số 385323:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{2x + 3}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng tồn tại hai điểm \({M_1},\,\,{M_2}\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại \({M_1},\,\,{M_2}\) cắt \(Ox\) tại \(A\), cắt \(Oy\) tại \(B\) sao cho tam giác \(OAB\) cân. Tính độ dài đoạn thẳng \({M_1}{M_2}\).

A. \(\sqrt 3 \)

B. \(2\sqrt 2 \)

C. \(\sqrt 2 \)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385323

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \dfrac{3}{2}} \right\}\). Ta có: \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\).

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right)\) tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\)

Cho \(y = 0 \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\)

\(\begin{array}{l}y = 0 \Rightarrow 0 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}}\\ \Leftrightarrow - \left( {x - {x_0}} \right) + \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {2{x_0} + 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x = 2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6\\ \Rightarrow A\left( {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6;0} \right) \Rightarrow OA = \left| {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6} \right|\end{array}\)

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = \dfrac{{{x_0}}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{2{x_0} + 3}} = \dfrac{{2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{(2{x_0} + 3)}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow B\left( {0;\dfrac{{2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right)\\ \Rightarrow OB = \left| {\dfrac{{2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right| = \dfrac{{\left| {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6} \right|}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \(\Delta OAB\) cân tại \(O\) nên \(OA = OB\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left| {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6} \right| = \dfrac{{\left| {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6} \right|}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {2{x_0}^2 + 8{x_0} + 6} \right|\left( {1 - \dfrac{1}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2{x_0} + 3 = 1\\2{x_0} + 3 = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = - 1\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Ta không xét \(\left| {2x_0^2 + 8{x_0} + 6} \right| = 0\) vì khi đó \(OA = OB = 0\) hay \(O \equiv A \equiv B\).

Khi đó ta có \({M_1}\left( { - 1;1} \right),\,\,{M_2}\left( { - 2;0} \right)\).

Vậy \({M_1}{M_2} = \sqrt {{{\left( { - 2 + 1} \right)}^2} + {{\left( {0 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.