Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BC = AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \). Biết \(B'C\) tạo với đáy góc

Câu hỏi số 385326:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BC = AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \). Biết \(B'C\) tạo với đáy góc \({60^0}\). Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AC'B'B\).

A. \(5\pi {a^2}\)

B. \(8\pi {a^2}\)

C. \(10\pi {a^2}\)

D. \(7\pi {a^2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385326

Phương pháp giải

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm cách đều 4 đỉnh của tứ diện.

- Áp dụng định lí Pytago để tính bán kính \(R\) của mặt cầu.

- Diện tích mặt cầu bán kính \(R\) là \(S = 4\pi {R^2}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AC\) và \(O\) là điểm đối xứng \(B\) qua \(M\).

Ta có \(AM = MC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(BM \bot AC\) (do tam giác \(ABC\) cân tại \(B\)).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABM\) có: \(BM = \sqrt {A{B^2} - A{M^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - \frac{{3{a^2}}}{4}} = \frac{a}{2}\).

\( \Rightarrow OB = 2OM = a\).

Xét tứ giác \(ABCO\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MI\\MB = MO\\AC \bot OB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow ABCO\) là hình thoi.

\( \Rightarrow OA = OI = AB = BC = a\).

\( \Rightarrow OA = OB = OC\) \( \Rightarrow O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(BB'\), qua \(N\) kẻ mặt phẳng vuông góc với \(BB'\) cắt đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) tại \(I\) ta có:

\(I\) thuộc đường thẳng qua \(O\) và vuông góc với \(\left( {ABC} \right)\) \( \Rightarrow IA = IB = IC\).

\(I\) thuộc mặt phẳng vuông góc với \(BB'\) tại \(N\) \( \Rightarrow IB = IB'\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB'\) \( \Rightarrow I\) thuộc trục của \(\left( {ABB'} \right)\), chính là trục của \(\left( {ABB'A'} \right)\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB' = IA'\) \( \Rightarrow I\) thuộc trục của \(\left( {AA'C} \right)\), chính là trục của \(\left( {ACC'A'} \right)\).

\( \Rightarrow IA = IB = IC = IB' = IA' = IC'\), do đó \(I\) chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(AC'B'B\).

Ta có: \(BB' \bot \left( {ABC} \right)\)\( \Rightarrow \angle \left( {B'C;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {B'C;BC} \right) = \angle B'CB = {60^0}\).

\( \Rightarrow BB' = BC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 \) \( \Rightarrow OI = BN = \frac{1}{2}BB' = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OAI\) có: \(IA = \sqrt {O{A^2} + O{I^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\).

\( \Rightarrow R = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\) \( \Rightarrow {S_{mc}} = 4\pi {R^2} = 7\pi {a^2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.