Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2\) có ba cực

Câu hỏi số 385329:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để đồ thị hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + 2\) có ba cực trị \(A,\,\,B,\,\,C\) và ba điểm cực trị này cùng với gốc tọa độ \(O\) thuộc một đường tròn.

A. \(3\)

B. \(2\)

C. \(1\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385329

Phương pháp giải

- Xác định các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

- Giả sử \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\), chứng minh \(I\) là trung điểm của \(OA\).

- Chứng minh điều kiện để \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn là \(AB \bot OB\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có \(y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = m\end{array} \right.\)

Để đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^2} = m\) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 \( \Rightarrow m > 0\).

Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 2\\x = \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 2\\x = - \sqrt m \Rightarrow y = - {m^2} + 2\end{array} \right.\)

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị

\(A\left( {0;2} \right),\,\,B\left( {\sqrt m ; - {m^2} + 2} \right),\,\,C\left( { - \sqrt m ; - {m^2} + 2} \right)\).

Ta có \(B,\,\,C\) đối xứng qua trục \(Oy\), \(O,\,\,A \in Oy\), do đó \(B,\,\,C\) đối xứng \(OA\).

Giả sử \(O,\,\,A,\,\,B,\,\,C\) cùng thuộc đường tròn tâm \(I\) ta có \(IA = IB = IC = IO\).

\(IB = IC \Rightarrow I\) thuộc trung trực của \(BC \Rightarrow I \in OA\).

\(IO = IA \Rightarrow I\) là trung điểm của \(OA\).

Khi đó ta có \(IB = IA = IO = \frac{1}{2}OA\) \( \Rightarrow \Delta OAB\) vuông tại \(B\) (Định lí đường trung tuyến).

Ta có: \(\overrightarrow {BA} = \left( { - \sqrt m ;{m^2}} \right);\,\,\overrightarrow {BO} = \left( { - \sqrt m ;{m^2} - 2} \right)\).

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BO} = 0\\ \Leftrightarrow m + {m^2}\left( {{m^2} - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {m^4} - 2{m^2} + m = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 2m + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 1} \right)\left( {{m^2} + m - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị thực của tham số \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.