Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy.
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SM\) cắt \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(E,\,\,F\). Biết \({V_{S.AEF}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \subset \left( \alpha \right)\).
Trong \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(EF\) đi qua \(H\) và \(EF \bot SM\) \(\left( {E \in SB,\,\,F \in SC} \right)\), suy ra \(EF \subset \left( \alpha \right)\).
\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {AEF} \right)\).
Xét \({\Delta _v}SAB\) và \({\Delta _v}SAC\) có:
\(\begin{array}{l}SA\,\,chung\\AB = AC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
\( \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S\), do đó \(SM \bot BC\).
Mà \(SM \bot EF \Rightarrow EF\parallel BC\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SC}}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SE}}{{SB}}.\dfrac{{SF}}{{SC}} = {\left( {\dfrac{{SE}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{{SH}}{{SM}} \Rightarrow \)\(H\) là trung điểm của \(SM\).
Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) đồng thời là trung tuyến.
\( \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
\(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
