Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy.

Câu hỏi số 385645:

Thông hiểu

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), \(SA\) vuông góc với mặt đáy. Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(SM\) cắt \(SB,\,\,SC\) lần lượt tại \(E,\,\,F\). Biết \({V_{S.AEF}} = \dfrac{1}{4}{V_{S.ABC}}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{{12}}\)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{8}\)

C. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{5}\)

D. \(V = \dfrac{{{a^3}}}{2}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385645

Giải chi tiết

Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM \Rightarrow AH \subset \left( \alpha \right)\).

Trong \(\left( {SBC} \right)\) kẻ \(EF\) đi qua \(H\) và \(EF \bot SM\) \(\left( {E \in SB,\,\,F \in SC} \right)\), suy ra \(EF \subset \left( \alpha \right)\).

\( \Rightarrow \left( \alpha \right) \equiv \left( {AEF} \right)\).

Xét \({\Delta _v}SAB\) và \({\Delta _v}SAC\) có:

\(\begin{array}{l}SA\,\,chung\\AB = AC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _v}SAB = {\Delta _v}SAC\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow SB = SC \Rightarrow \Delta SBC\) cân tại \(S\), do đó \(SM \bot BC\).

Mà \(SM \bot EF \Rightarrow EF\parallel BC\). Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{{SF}}{{SC}}\).

Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.AEF}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SE}}{{SB}}.\dfrac{{SF}}{{SC}} = {\left( {\dfrac{{SE}}{{SB}}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}\) \( \Rightarrow \dfrac{{SE}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} = \dfrac{{SF}}{{SC}} = \dfrac{{SH}}{{SM}} \Rightarrow \)\(H\) là trung điểm của \(SM\).

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) đồng thời là trung tuyến.

\( \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại \(A\) \( \Rightarrow SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.