Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) với \(m \in \left[ { - 5;7} \right]\) là

Câu hỏi số 385660:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) với \(m \in \left[ { - 5;7} \right]\) là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để hàm số có đúng ba điểm cực trị?

A. \(8\)

B. \(13\)

C. \(10\)

D. \(12\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:385660

Phương pháp giải

- Biến đổi \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| = \sqrt {{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)}^2}} \).

- Tính đạo hàm, tìm điều kiện để phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 3 nghiệm phân biệt.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Ta có: \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right| = \sqrt {{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)}^2}} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{{2\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\left( {3{x^2} - 6x} \right)}}{{2\sqrt {{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\left( {3{x^2} - 6x} \right)}}{{\left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|}}\\\,\,\,\,\,\,f'\left( x \right) = \dfrac{{3x\left( {x - 2} \right)\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)}}{{\left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|}}\end{array}\)

Để hàm số \(f\left( x \right) = \left| {{x^3} - 3{x^2} + m} \right|\) có 3 điểm cực trị thì phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) hoặc có 1 nghiệm khác \(0;\,\,2\), hoặc có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc 2, hoặc có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc 2.

\({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) \( \Leftrightarrow -m = {x^3} - 3{x^2} = f\left( x \right)\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2}\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT ta thấy:

TH1: Phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có 1 nghiệm khác \(0;\,\,2\) \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - m > 0\\ - m < - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\m > 4\end{array} \right.\).

TH2: Phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm bằng 0 hoặc 2 \( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} - m = 0\\ - m = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 4\end{array} \right.\).

TH3: Phương trình \({x^3} - 3{x^2} + m = 0\) có có 3 nghiệm phân biệt trong đó có 2 nghiệm bằng 0 hoặc 2 \( \Rightarrow m \in \emptyset \).

Suy ra \(\left[ \begin{array}{l}m \le 0\\m \ge 4\end{array} \right.\), kết hợp điều kiện \( \Rightarrow m \in \left[ { - 5;0} \right] \cup \left[ {4;7} \right]\).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3; - 2; - 1;0;4;5;6;7} \right\}\). Vậy có 10 giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.