Cho \(A = \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \), \(B = \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x + \sin x}}dx} \). Tìm

Câu hỏi số 386231:

Vận dụng

Cho \(A = \int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \), \(B = \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x + \sin x}}dx} \). Tìm biểu thức của \(K = 3A + B\).

A. \(K = - 2x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số

B. \(K = 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số

C. \(K = - 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số

D. \(K = 2x - \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\), \(C\) là hằng số

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386231

Phương pháp giải

- Phân tích \(\sin x + 3\cos x = M\left( {\sin x + \cos x} \right) + N\left( {\cos x - \sin x} \right)\), tìm \(M,\,\,N\).

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {dx} = x + C\), \(\int {\dfrac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}K = 3A + B\\K = 3\int {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} + \int {\dfrac{{\sin x}}{{\cos x + \sin x}}dx} \\K = \int {\dfrac{{\sin x + 3\cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \end{array}\)

Giả sử

\(\begin{array}{l}\sin x + 3\cos x = M\left( {\sin x + \cos x} \right) + N\left( {\cos x - \sin x} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {M - N} \right)\sin x + \left( {M + N} \right)\cos x\end{array}\)

Đồng nhất hệ số ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}M - N = 1\\M + N = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}M = 2\\N = 2\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin x + 3\cos x = 2\left( {\sin x + \cos x} \right) + \left( {\cos x - \sin x} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}K = \int {\dfrac{{2\left( {\sin x + \cos x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} + \int {\dfrac{{\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\K = \int {2dx} + \int {\dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\K = 2x + \ln \left| {\sin x + \cos x} \right| + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.