Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho 3 điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;1}

Câu hỏi số 386232:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho 3 điểm \(A\left( {2;0;0} \right)\), \(B\left( {0;3;1} \right)\), \(C\left( { - 3;6;4} \right)\). Gọi \(M\) là điểm nằm trên cạnh \(BC\) sao cho diện tích tam giác \(ACM\) gấp hai lần diện tích tam giác \(ABM\). Tính độ dài đoạn \(AM\).

A. \(AM = \sqrt {29} \)

B. \(AM = 2\sqrt 7 \)

C. \(AM = \sqrt {30} \)

D. \(AM = 3\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386232

Phương pháp giải

- Viết phương trình đường thẳng \(BC\), tham số hóa tọa độ điểm \(M\) thuộc \(BC\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right]} \right|\)

Giải chi tiết

Ta có: \(\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;3;3} \right)\).

Phương trình đường thẳng \(BC\) đi qua \(B\) và nhận \({\overrightarrow u _{BC}} = \left( { - 1;1;1} \right)\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = 3 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).

Lấy \(M\left( { - m;3 + m;1 + m} \right)\) thuộc \(BC\).

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;3;1} \right)\\\overrightarrow {AM} = \left( { - m - 2;3 + m;1 + m} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {2m;m;m} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABM}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right|\)\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{m^2} + {m^2} + {m^2}} = \dfrac{{\left| m \right|\sqrt 6 }}{2}\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;6;4} \right)\\\overrightarrow {AM} = \left( { - m - 2;3 + m;1 + m} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AM} } \right] = \left( {2m - 6;m - 3;m - 3} \right)\).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ACM}} = \dfrac{1}{2}\left| {\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AM} } \right]} \right|\)\( = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2m - 6} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2} + {{\left( {m - 3} \right)}^2}} = \dfrac{{\left| {m - 3} \right|\sqrt 6 }}{2}\).

Theo bài ra ta có: \({S_{\Delta ACM}} = 2{S_{\Delta ABM}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{\left| {m - 3} \right|\sqrt 6 }}{2} = 2.\dfrac{{\left| m \right|\sqrt 6 }}{2}\)\( \Leftrightarrow \left| {m - 3} \right| = 2\left| m \right|\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 3 = 2m\\m - 3 = - 2m\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 3\\m = 1\end{array} \right.\).

Với \(m = - 3 \Rightarrow M\left( {3;0; - 2} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt 5 \).

Với \(m = 1 \Rightarrow M\left( { - 1;4;2} \right)\)\( \Rightarrow AM = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2} + {2^2}} = \sqrt {29} \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.