Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn

Câu hỏi số 386391:

Vận dụng

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \dfrac{{\ln x}}{x}\) trên đoạn \(\left[ {\dfrac{1}{e};\,{e^2}} \right]\) là:

A. \(T = - e + \dfrac{2}{{{e^2}}}.\)

B. \(T = e - \dfrac{1}{e}.\)

C. \(T = - \dfrac{1}{e} + \dfrac{2}{{{e^2}}}.\)

D. \(T = \dfrac{1}{e} - e.\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386391

Phương pháp giải

Cách 1:

+) Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị .. Khi đó:

\(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\},\;\;\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\)

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN, GTNN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Giải chi tiết

Ta có: \(y = \dfrac{{\ln x}}{x}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = \dfrac{{\dfrac{1}{x}.x - \ln x}}{{{x^2}}} = \dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 1 - \ln x = 0 \Leftrightarrow x = e\,\, \in \left[ {\dfrac{1}{e};\,\,{e^2}} \right].\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y\left( {\dfrac{1}{e}} \right) = \dfrac{{\ln \dfrac{1}{e}}}{{\dfrac{1}{e}}} = - e\\y\left( e \right) = \dfrac{{\ln e}}{e} = \dfrac{1}{e}\\y\left( {{e^2}} \right) = \dfrac{{\ln {e^2}}}{{{e^2}}} = \dfrac{2}{{{e^2}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\mathop {Min}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{e};\,\,{e^2}} \right]} y = - e\\\mathop {Max}\limits_{\left[ {\dfrac{1}{e};\,\,{e^2}} \right]} y = \dfrac{1}{e}\end{array} \right..\\ \Rightarrow T = \dfrac{1}{e} - e.\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.