Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), \(AB = 2a\), \(\angle BAC = {120^0}\),

Câu hỏi số 386688:

Vận dụng cao

Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác cân tại \(A\), \(AB = 2a\), \(\angle BAC = {120^0}\), \(\angle SBA = \angle SCA = {90^0}\). Biết góc giữa \(SB\) và đáy bằng \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).

A. \(6\sqrt 3 {a^3}\)

B. \(6{a^3}\)

C. \(2{a^3}\)

D. \(2\sqrt 3 {a^3}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:386688

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(SA\), chứng minh \(MA = MB = MC\) , từ đó xác định hình chiếu của \(M\) trên \(\left( {ABC} \right)\).

- Xác định hình chiếu của \(S\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Xác định góc giữa \(SB\) và \(\left( {ABC} \right)\) bằng góc giữa \(SB\) và hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác, tỉ số lượng giác của góc nhọn tính \(SH\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle BAC\).

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA,\,\,BC\).

Ta có: \(\Delta SAB,\,\,\Delta SAC\) lần lượt vuông tại \(B,\,\,C\) nên \(BM = CM = \dfrac{1}{2}SA = MS = MA\).

\( \Rightarrow \) Chóp \(M.ABC\) có \(MA = MB = MC\) nên hình chiếu của \(M\) lên \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\).

Dựng hình bình hành \(ABIC\) ta có: \(IB = AC = 2a,\,\,IC = AB = 2a\).

Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên \(AN \bot BC\) (Trung tuyến đồng thời là đường cao) và \(\angle BAN = {60^0}\) (Trung tuyến đồng thời là đường phân giác).

Xét tam giác vuông \(ABN\) có \(AN = AB.\cos {60^0} = a\).

\( \Rightarrow AI = 2AN = 2a\).

Do đó \(IA = IB = IC = 2a\) nên \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

\( \Rightarrow MI \bot \left( {ABC} \right)\).

Trong \(\left( {AMI} \right)\) lẻ \(SH\parallel MI\,\,\left( {H \in AI} \right)\) ta có \(SH \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow HB\) là hình chiếu của \(SB\) lên \(\left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH = {60^0}\).

Xét tam giác \(SAH\) có: \(M\) là trung điểm của \(SA\), \(SH\parallel MI\) nên \(I\) là trung điểm của \(AH\) (Định lí đường trung bình).

\( \Rightarrow AH = 2AI = 4a\).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác \(ABH\) ta có:

\(\begin{array}{l}B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} - 2AB.AH.\cos {60^0}\\B{H^2} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} - 2.2a.4a.\dfrac{1}{2}\\B{H^2} = 12{a^2}\\ \Rightarrow BH = 2a\sqrt 3 \end{array}\)

Xét tam giác vuông \(SBH\) có: \(SH = BH.\tan {60^0} = 6a\).

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle BAC\)\( = \dfrac{1}{2}.2a.2a.\sin {120^0} = {a^2}\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}.6a.{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3 \).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.