Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ , $AB = 2a$ , $\angle BAC = {120^0}$ ,

Câu hỏi số 386688:

Vận dụng cao

Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ , $AB = 2a$ , $\angle BAC = {120^0}$ , $\angle SBA = \angle SCA = {90^0}$ . Biết góc giữa $SB$ và đáy bằng ${60^0}$ . Tính thể tích $V$ của khối chóp $S.ABC$ .

6 \sqrt{3} a^{3}

$6\sqrt 3 {a^3}$

6 a^{3}

$6{a^3}$

2 a^{3}

$2{a^3}$

2 \sqrt{3} a^{3}

$2\sqrt 3 {a^3}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:386688

Phương pháp giải

- Gọi $M$ là trung điểm của $SA$ , chứng minh $MA = MB = MC$ , từ đó xác định hình chiếu của $M$ trên $\left( {ABC} \right)$ .

- Xác định hình chiếu của $S$ lên $\left( {ABC} \right)$ .

- Xác định góc giữa $SB$ và $\left( {ABC} \right)$ bằng góc giữa $SB$ và hình chiếu của $SB$ lên $\left( {ABC} \right)$ .

- Sử dụng định lí Cosin trong tam giác, tỉ số lượng giác của góc nhọn tính $SH$ .

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác ${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle BAC$ .

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp $V = \dfrac{1}{3}{S_{day}}.h$ .

Giải chi tiết

Gọi $M,\,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,\,BC$ .

Ta có: $\Delta SAB,\,\,\Delta SAC$ lần lượt vuông tại $B,\,\,C$ nên $BM = CM = \dfrac{1}{2}SA = MS = MA$ .

$\Rightarrow$ Chóp $M.ABC$ có $MA = MB = MC$ nên hình chiếu của $M$ lên $\left( {ABC} \right)$ trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ .

Dựng hình bình hành $ABIC$ ta có: $IB = AC = 2a,\,\,IC = AB = 2a$ .

Tam giác $ABC$ cân tại $A$ nên $AN \bot BC$ (Trung tuyến đồng thời là đường cao) và $\angle BAN = {60^0}$ (Trung tuyến đồng thời là đường phân giác).

Xét tam giác vuông $ABN$ có $AN = AB.\cos {60^0} = a$ .

$\Rightarrow AI = 2AN = 2a$ .

Do đó $IA = IB = IC = 2a$ nên $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ .

$\Rightarrow MI \bot \left( {ABC} \right)$ .

Trong $\left( {AMI} \right)$ lẻ $SH\parallel MI\,\,\left( {H \in AI} \right)$ ta có $SH \bot \left( {ABC} \right)$ .

$\Rightarrow HB$ là hình chiếu của $SB$ lên $\left( {ABC} \right)$ .

$\Rightarrow \angle \left( {SB;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SB;HB} \right) = \angle SBH = {60^0}$ .

Xét tam giác $SAH$ có: $M$ là trung điểm của $SA$ , $SH\parallel MI$ nên $I$ là trung điểm của $AH$ (Định lí đường trung bình).

$\Rightarrow AH = 2AI = 4a$ .

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác $ABH$ ta có:

$\begin{array}{l}B{H^2} = A{B^2} + A{H^2} - 2AB.AH.\cos {60^0}\\B{H^2} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {4a} \right)^2} - 2.2a.4a.\dfrac{1}{2}\\B{H^2} = 12{a^2}\\ \Rightarrow BH = 2a\sqrt 3 \end{array}$

Xét tam giác vuông $SBH$ có: $SH = BH.\tan {60^0} = 6a$ .

${S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.AC.\sin \angle BAC$

$= \dfrac{1}{2}.2a.2a.\sin {120^0} = {a^2}\sqrt 3$ .

Vậy ${V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{\Delta ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.6a.{a^2}\sqrt 3 = 2{a^3}\sqrt 3$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.