Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng nhau và bằng \(2a\), đáy là hình chữ nhật \(ABCD\)

Câu hỏi số 386692:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có các cạnh bên bằng nhau và bằng \(2a\), đáy là hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB = 2a,\,\,AD = a\). Gọi \(E\) là điểm thuộc đoạn thẳng \(BC\) sao cho \(BE = \dfrac{2}{5}a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AD\) và \(SE\).

A. \(\dfrac{{2\sqrt {135} a}}{{15}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {135} a}}{{15}}\)

C. \(\dfrac{{2\sqrt {165} a}}{{15}}\)

D. \(\dfrac{{\sqrt {165} a}}{{15}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:386692

Phương pháp giải

- Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường này đến mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song với đường thẳng này.

- Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết

Ta có \(AD\parallel BC\) nên \(AD\parallel \left( {SBC} \right) \supset SE\).

\( \Rightarrow d\left( {AD;SE} \right) = d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi \(O = AC \cap BD\) ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

\(AO \cap \left( {SBC} \right) = C\) \( \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{OC}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 2d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OM\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOM} \right)\).

Trong \(\left( {SOM} \right)\) kẻ \(OH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}OH \bot SM\\OH \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OH\).

Vì \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(OM = \dfrac{1}{2}AB = a\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBM\) có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} \)\( = \sqrt {4{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SOM\) có: \(SO = \sqrt {S{M^2} - O{M^2}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOM\) có: \(OH = \dfrac{{SO.OM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}.a}}{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{2}}} = \dfrac{{a\sqrt {165} }}{{15}}\).

Vậy \(d\left( {AD;SE} \right) = 2OH = \dfrac{{2a\sqrt {165} }}{{15}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.