Cho khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 3 \) và \(AD = a.\)

Câu hỏi số 387062:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\sqrt 3 \) và \(AD = a.\) Hình chiếu vuông góc của điểm \(A'\) trên mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) trùng với giao điểm \(O\) của \(AC\) và \(BD.\) Tính khoảng cách từ điểm \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) theo \(a.\)

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:387062

Phương pháp giải

Tính khoảng cách từ \(B'\) đến mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) bằng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết

Gọi \(O'\) là giao điểm của \(A'B\) và \(AB'.\)

Ta có: \(\dfrac{{BO'}}{{AO'}} = 1 \Rightarrow \dfrac{{d\left( {B';\,\,\left( {A'BD} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\,\,\left( {A'BD} \right)} \right)}} = 1\)

\( \Leftrightarrow d\left( {B';\,\,\left( {A'BD} \right)} \right) = d\left( {A;\,\,\left( {A'BD} \right)} \right).\)

Kẻ \(AH \bot BD,\) ta có: \(A'O \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow A'O \bot AH\)

\( \Rightarrow AH \bot \left( {A'BD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\,\,\left( {A'BD} \right)} \right) = AH\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác \(ABD\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\) ta có:

\(AH = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{a.a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\)

Chọn B.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.