Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right);\,\,B\left( {1; - 1;3} \right)\) và mặt
Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( { - 3;0;1} \right);\,\,B\left( {1; - 1;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + 2z - 5 = 0\). Đường thẳng \(d\) đi qua \(A\), song song với mặt phẳng \(\left( P \right)\) sao cho khoảng cách từ \(B\) đến đường thẳng \(d\) nhỏ nhất. Đường thẳng \(d\) có một vectơ chi phương là \(\overrightarrow u \left( {1;b;c} \right)\). Khi đó \(\dfrac{b}{c}\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- \(d\parallel \left( P \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0\), rút \(c\) theo \(b\).
- Khoảng cách từ \(B\) đến \(d\) được tính theo công thức: \(d\left( {B;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN.
Vì \(d\parallel \left( P \right)\) nên \(\overrightarrow {{u_d}} \bot \overrightarrow {{n_P}} \) với \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1; - 2;2} \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{n_P}} = 0 \Leftrightarrow 1 - 2b + 2c = 0\).
Ta có: \(d\left( {B;d} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right|}}\).
\(\overrightarrow {BA} = \left( { - 4;1; - 2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right] = \left( {c + 2b; - 2 + 4c; - 4b - 1} \right)\).
\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {{u_d}} } \right| = \sqrt {{{\left( {c + 2b} \right)}^2} + {{\left( {4c - 2} \right)}^2} + {{\left( {4b + 1} \right)}^2}} \)
\(\left| {\overrightarrow {{u_d}} } \right| = \sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} \)
\( \Rightarrow d\left( {B;d} \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {c + 2b} \right)}^2} + {{\left( {4c - 2} \right)}^2} + {{\left( {4b + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {1 + {b^2} + {c^2}} }}\)
Thay \(c = \dfrac{{2b - 1}}{2}\) vào ta có:
\(\begin{array}{l}d\left( {B;d} \right) = \dfrac{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2b - 1}}{2} + 2b} \right)}^2} + {{\left( {2\left( {2b - 1} \right) - 2} \right)}^2} + {{\left( {4b + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {1 + {b^2} + {{\left( {\dfrac{{2b - 1}}{2}} \right)}^2}} }}\\d\left( {B;d} \right) = \sqrt {\dfrac{{164{b^2} - 108b + 69}}{{8{b^2} - 4b + 5}}} \end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( b \right) = \dfrac{{164{b^2} - 108b + 69}}{{8{b^2} - 4b + 5}}\) ta có:
\(\begin{array}{l}f'\left( b \right) = \dfrac{{\left( {328b - 108} \right)\left( {8{b^2} - 4b + 5} \right) - \left( {164{b^2} - 108b + 69} \right)\left( {16b - 4} \right)}}{{{{\left( {8{b^2} - 4b + 5} \right)}^2}}}\\f'\left( b \right) = \dfrac{{208{b^2} + 536b - 264}}{{{{\left( {8{b^2} - 4b + 5} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{{11}}{{26}}\\b = - 3\end{array} \right.\end{array}\)
BBT:
Dựa vào BBT ta thấy \(d{\left( {B;d} \right)_{\min }} \Leftrightarrow b = \dfrac{{11}}{{26}}\), khi đó \(c = \dfrac{{ - 1}}{{13}}\).
Vậy \(\dfrac{b}{c} = \dfrac{{11}}{{26}}:\dfrac{{ - 1}}{{13}} = - \dfrac{{11}}{2}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
