Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 3m - 9\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\).

Câu hỏi số 387488:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 3m - 9\) có đồ thị là \(\left( {{C_m}} \right)\). Gọi \({m_0}\) là giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị \(\left( {{C_m}} \right)\) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\) thỏa mãn \({x_A} < {x_B} < {x_C} < {x_D}\) và tam giác \(MAC\) có diện tích bằng \(2\) với \(M\left( {5;1} \right)\). Khi đó giá trị \({m_0}\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( {3;6} \right)\)

B. \(\left( {2;5} \right)\)

C. \(\left( {8;11} \right)\)

D. \(\left( {4;8} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387488

Phương pháp giải

- Xét phương trình hoành độ giao điểm.

- Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), đưa phương trình hoành độ giao điểm về phương trình bậc hai ẩn \(t\), tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm \(t\) dương phân biệt.

- Sử dụng công thức tính diện tích \({S_{MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {M;AC} \right).AC\).

- Áp dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm: \({x^4} - 2\left( {m - 1} \right){x^2} + 3m - 9 = 0\) (1)

Đặt \(t = {x^2}\,\,\left( {t \ge 0} \right)\), phương trình trở thành: \({t^2} - 2\left( {m - 1} \right)t + 3m - 9 = 0\) (2).

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, khi đó phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - 3m + 9 > 0\\S = 2\left( {m - 1} \right) > 0\\P = 3m - 9 > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 5m + 10 > 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\m > 1\\m > 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow m > 3\).

Gọi .. là hai nghiệm dương phân biệt của phương trình (2), khi đó phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt \({x_A} = - \sqrt {{t_2}} ;\,\,{x_B} = - \sqrt {{t_1}} ;\,\,{x_C} = \sqrt {{t_1}} ;\,\,{x_D} = \sqrt {{t_2}} \).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A\left( { - \sqrt {{t_2}} ;0} \right);\,\,C\left( {\sqrt {{t_1}} ;0} \right)\\ \Rightarrow AC = \sqrt {{{\left( {\sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} } \right)}^2}} = \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} \end{array}\)

Ta có \(d\left( {M;AC} \right) = d\left( {M;Ox} \right) = \left| {{y_M}} \right| = 1\).

\( \Rightarrow {S_{MAC}} = \dfrac{1}{2}d\left( {M;AC} \right).AC = \dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} } \right)\).

Theo bài ra ta có: \(\dfrac{1}{2}\left( {\sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} } \right) = 2 \Leftrightarrow \sqrt {{t_1}} + \sqrt {{t_2}} = 4\)\( \Leftrightarrow {t_1} + {t_2} + 2\sqrt {{t_1}{t_2}} = 16\).

Áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{t_1} + {t_2} = 2\left( {m - 1} \right)\\{t_1}{t_2} = 3m - 9\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2\left( {m - 1} \right) + 2\sqrt {3m - 9} = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {3m - 9} = 18 - 2m\\ \Leftrightarrow \sqrt {3m - 9} = 9 - m\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9 - m \ge 0\\3m - 9 = {m^2} - 18m + 81\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 9\\{m^2} - 21m + 90 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 9\\\left[ \begin{array}{l}m = 15\\m = 6\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 6\,\,\left( {tm\,\,m > 3} \right)\end{array}\)

Vậy \({m_0} = 6 \in \left( {4;8} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.