Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x

Câu hỏi số 387505:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} \)bằng:

A. \(2\)

B. \(\dfrac{1}{2}\)

C. \(\dfrac{3}{2}\)

D. \(\dfrac{5}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387505

Phương pháp giải

- Lấy đạo hàm hai vế biểu thức \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\), rút \(f'\left( x \right)\) theo \(f\left( x \right)\).

- Đặt \(t = f\left( x \right)\), sử dụng phương pháp đổi biến

Giải chi tiết

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức \({f^3}\left( x \right) + f\left( x \right) = x\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) ta có:

\(3{f^2}\left( x \right)f'\left( x \right) + f'\left( x \right) = 1\)\( \Leftrightarrow f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 1}}\).

Đặt \(t = f\left( x \right)\)\( \Rightarrow dt = f'\left( x \right)dx = \dfrac{1}{{3{f^2}\left( x \right) + 1}}dx\)

\( \Rightarrow dx = \left[ {3{f^2}\left( x \right) + 1} \right]dt = \left( {3{t^2} + 1} \right)dt\).

Đổi cận:

Với \(x = 0 \Rightarrow t = f\left( 0 \right)\).

Ta có: \({f^3}\left( 0 \right) + f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow t = 0\).

Với \(x = 2 \Rightarrow t = f\left( 2 \right)\).

Ta có \({f^3}\left( 2 \right) + f\left( 2 \right) = 2 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow t = 1\).

Khi đó ta có: \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {t\left( {3{t^2} + 1} \right)dt} = \dfrac{5}{4}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.