Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x +

Câu hỏi số 388277:

Vận dụng cao

Trong tất cả các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\) , có bao nhiêu giá trị thực của \(m\) để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) sao cho \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\).

A. \(2\)

B. \(1\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:388277

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 2x + 2y + 5 \ge {x^2} + {y^2} + 3\\ \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 \le 0\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Tập hợp các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({\log _{{x^2} + {y^2} + 3}}\left( {2x + 2y + 5} \right) \ge 1\) là hình tròn \(\left( {{C_1}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} - 2x - 2y - 2 = 0\) (tính cả biên).

Xét \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = m\).

TH1: \(m = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = - 3\end{array} \right.\), không thỏa mãn (1).

TH2: \(m > 0\), khi đó tập hợp các cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\) là đường tròn \(\left( {{C_2}} \right):\,\,{x^2} + {y^2} + 4x + 6y + 13 - m = 0\).

Để tồn tại duy nhất cặp số thực \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài với nhau hoặc hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc trong và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính lớn hơn đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\).

\(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1;1} \right)\), bán kính \({R_1} = 2\).

\(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 2; - 3} \right)\), bán kính \({R_2} = \sqrt m \,\,\left( {m > 0} \right)\).

Để \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc ngoài thì \({I_1}{I_2} = {R_1} + {R_2}\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} = 2 + \sqrt m \\ \Leftrightarrow 5 = 2 + \sqrt m \Leftrightarrow m = 9\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Để đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) tiếp xúc trong và đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có bán kính lớn hơn đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {R_2} - {R_1} = {I_1}{I_2}\\ \Leftrightarrow \sqrt m - 2 = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {4^2}} \\ \Leftrightarrow m = 49\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Vậy có 2 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.