Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(SM = 2a\). Tính cosin góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy.

Câu 389190: Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AB\) và \(SM = 2a\). Tính cosin góc giữa mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy.

A. \(\dfrac{1}{2}.\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

C. \(\dfrac{1}{3}.\)

D. \(2\)

Câu hỏi : 389190

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Áp dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông để tính cosin góc giữa hai mặt phẳng xác định được.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(O = AC \cap BD\), do chóp \(S.ABCD\) là chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Tam giác \(SAB\) cân tại \(S\) nên \(SM \bot AB\).

Có: \(OM\) là đường trung bình của tam giác \(ABD\) nên \(OM\parallel AD\), mà \(AD \bot AB\) nên \(OM \bot AB\) và \(OM = \dfrac{1}{2}AD = a\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SM \bot AB\\\left( {ABCD} \right) \supset OM \bot AB\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SAB} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM;OM} \right)\).

Ta có: \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OM\), do đó \(\Delta SMO\) vuông tại \(O\)\( \Rightarrow \angle SMO < {90^0}\).

\( \Rightarrow \angle \left( {SM;OM} \right) = \angle SMO\).

Xét tam giác vuông \(SMO\) có \(\cos \angle SMO = \dfrac{{OM}}{{SM}} = \dfrac{1}{2}\).

Chú ý:
Góc giữa hai mặt phẳng là góc nhỏ hơn hoặc bằng \({90^0}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.