Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\),\(BC = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

Câu 389189: Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA = a\), \(SA\) vuông góc với đáy. Biết đáy là tam giác vuông cân tại \(A\),\(BC = a\sqrt 2 \). Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

B. \(\dfrac{a}{3}.\)

C. \(a\sqrt 3 .\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 5 }}{5}.\)

Câu hỏi : 389189

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Xác định khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

+ Dựng mặt phẳng \(\left( Q \right)\) qua \(A\) và vuông góc với \(\left( {SBC} \right)\).

+ Xác định giao tuyến của \(\left( Q \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\).

+ Dựng đường thẳng qua \(A\) và vuông góc với giao tuyến, chứng minh khoảng cách từ \(A\) đến giao tuyến đó chính là khoảng cách từ \(A\) đến \(\left( {SBC} \right)\).

- Áp dụng và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách vừa xác định.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của\(BC\), vì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(H\) nên \(AH \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\\SA \bot BC\,\,\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow BC \bot \left( {SAH} \right)\)\( \Rightarrow \left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)\).

Có: \(\left( {SAH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SH\).

Trong \(\left( {SAH} \right)\) kẻ \(AI \bot SH\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAH} \right) \bot \left( {SBC} \right)\\\left( {SAH} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SH\\\left( {SAH} \right) \supset AI \bot SH\end{array} \right.\)\( \Rightarrow AI \bot \left( {SBC} \right)\).

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AI\).

Tam giác ABC vuông cân tại \(A\)có \(BC = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow AH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SA \bot AH\), suy ra \(\Delta SAH\) vuông tại \(A\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAH\)ta có:

\(\dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{S{A^2}}} + \dfrac{1}{{A{H^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{A{I^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\)\( \Leftrightarrow AI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.