Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung
Cho tứ diện đều \(ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\). Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BN,\,\,CM\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Tứ diện đều có hình chiếu của đỉnh trên mặt đáy trùng với trọng tâm đáy.
- Tìm khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(CM,\,\,BN\) ta xác định mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \(CM\) và song song với \(BN\).
- Đưa về bài toán tính khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng.
\(IK \bot MH\)
Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)\( \Rightarrow AG \bot \left( {ABC} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\), kẻ đường thẳng song song với \(BN\) cắt \(BD\) tại \(E\), ta có: \(BN\parallel \left( {MCE} \right) \supset CM\).
\( \Rightarrow d\left( {BN;CM} \right) = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right)\).
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BG\), ta có \(MI\parallel AG\) (tính chất đường trung bình) \( \Rightarrow MI \bot \left( {BCD} \right)\).
Trong \(\left( {BCD} \right)\) kẻ \(IH \bot CE\,\,\left( {H \in CE} \right)\), trong \(\left( {MIH} \right)\) kẻ \(\left( {K \in MH} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CE \bot IH\\CE \bot MI\,\,\left( {MI \bot \left( {BCD} \right)} \right)\end{array} \right.\)\( \Rightarrow CE \bot \left( {MIH} \right) \Rightarrow CE \bot IK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}IK \bot CE\\IK \bot MH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {MCE} \right)\).
\( \Rightarrow d\left( {I;\left( {MCE} \right)} \right) = IK = d\left( {BN;\left( {MCE} \right)} \right) = d\left( {BN;CM} \right)\).
Tam giác \(BCD\) đều cạnh \(a\) nên \(BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\), suy ra \(BG = \dfrac{2}{3}BN = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(ABG\) có: \(AG = \sqrt {A{B^2} - B{G^2}} \)\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).
\( \Rightarrow MI = \dfrac{1}{2}AG = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\).
Ta có: \(IH \bot CE,\,\,CE\parallel BN,\,\,BN \bot CD\)\( \Rightarrow IH\parallel CD\) hay \(IH\parallel CN\) .
Tứ giác \(INCH\) có: \(\left\{ \begin{array}{l}IH\parallel CN\\IN\parallel CH\end{array} \right.\) nên \(INCH\) là hình bình hành, do đó \(IH = CN = \dfrac{a}{2}\).
Vì \(MI \bot \left( {BCD} \right)\) nên \(MI \bot IH\), suy ra tam giác \(MIH\) vuông tại \(I\).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(IK = \dfrac{{MI.IH}}{{\sqrt {M{I^2} + I{H^2}} }}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{6} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Vậy \(d\left( {BN;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{{10}}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
