Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) . Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x

Câu hỏi số 389205:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) . Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\) đồng biến trên khoảng nào sau đây

A. \(\left( {1;2} \right).\)

B. \(\left( { - \infty ; - 3} \right).\)

C. \(\left( {0;1} \right)\)

D. \(\left( { - 2;0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389205

Phương pháp giải

- Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\). Tính đạo hàm của hàm số \(y = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

- Giải bất phương trình \(g'\left( x \right) > 0\), dựa vào các đáp án tìm khoảng đồng biến của hàm số.

Giải chi tiết

Đặt \(y = g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 2x} \right)\)ta có: \(g'\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

Xét \(g'\left( x \right) > 0\).

TH1: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2 > 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) > 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l} - 1 < {x^2} + 2x < 1\\{x^2} + 2x > 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 2x - 1 < 0\\{x^2} + 2x + 1 > 0\end{array} \right.\\{x^2} + 2x - 3 > 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > - 1\\\left[ \begin{array}{l}x \in \left( { - 1 - \sqrt 2 ; - 1 + \sqrt 2 } \right)\backslash \left\{ { - 1} \right\}\\x > 1\\x < - 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 1; - 1 + \sqrt 2 } \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

TH2: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 2 < 0\\f'\left( {{x^2} + 2x} \right) < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\\left[ \begin{array}{l}{x^2} + 2x < - 1\\1 < {x^2} + 2x < 3\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\{x^2} + 2x - 1 > 0\\{x^2} + 2x - 3 < 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < - 1\\x \in \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ { - 1 + \sqrt 2 ; + \infty } \right\}\\x \in \left( { - 3;1} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x \in \left( { - 3; - 1 - \sqrt 2 } \right)\).

Kết hợp 2 TH ta có: \(x \in \left( { - 3; - 1 - \sqrt 2 } \right) \cup \left( { - 1; - 1 + \sqrt 2 } \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).

Vậy hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right)\).

Chú ý khi giải

Để làm nhanh trắc nghiệm, học sinh có thể thử đáp án như sau:

\(g'\left( x \right) = \left( {2x + 2} \right)f'\left( {{x^2} + 2x} \right)\).

Chọn \(x = - 4\) ta có: \(g'\left( { - 4} \right) = - 6f'\left( 8 \right) < 0\), loại đáp án B.

Chọn \(x = 0,5\) ta có \(g'\left( {0,5} \right) = 3f'\left( {1,25} \right) < 0\), loại đáp án C.

Chọn \(x = - 1,5\) ta có \(g'\left( { - 1,5} \right) = - f'\left( { - 0,75} \right) < 0\), loại đáp án D.

Vậy ta cũng chọn được đáp án A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.