Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\) có đúng hai nghiệm thực thuộc \(\left( {2;4} \right)\)?

Câu 389219: Tìm tất cả giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( {m - 1} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\) có đúng hai nghiệm thực thuộc \(\left( {2;4} \right)\)?

A. \( - 3 < m < 1\)

B. \( - 3 < m < \dfrac{7}{3}\)

C. \( - 3 < m \le 1.\)

D. \( - 3 < m \le \dfrac{7}{3}.\)

Câu hỏi : 389219

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Đặt \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) = t\). Tìm khoảng giá trị của \(t\)ứng với \(x \in \left( {2;4} \right)\).

- Cô lập \(m\), đưa phương trình về dạng \(m = f\left( t \right)\).

- Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {2;4} \right)\) thì phương trình \(m = f\left( t \right)\) có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện.

- Lập BBT hàm số \(y = f\left( t \right)\) và kết luận.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có \(\left( {m - 1} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}^2\left( {x - 2} \right) - \left( {m - 5} \right){\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) + m - 1 = 0\)

Đặt \({\log _{\dfrac{1}{2}}}\left( {x - 2} \right) = t\), với \(x \in \left( {2;4} \right) \Rightarrow t > - 1\).

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}\left( {m - 1} \right){t^2} - \left( {m - 5} \right)t + m - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {{t^2} - t + 1} \right) - {t^2} + 5t - 1 = 0\\ \Leftrightarrow m = \dfrac{{{t^2} - 5t + 1}}{{{t^2} - t + 1}} = 1 - \dfrac{{4t}}{{{t^2} - t + 1}}\,\,\left( * \right)\,\,\left( {\,t > - 1} \right)\end{array}\)

Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm thực thuộc khoảng \(\left( {2;4} \right)\) thì phương trình (*) có 2 nghiệm \(t > - 1\).

Đặt\(f\left( t \right) = 1 - \dfrac{{4t}}{{{t^2} - t + 1}}\) ta có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{4{t^2} - 4}}{{{{\left( {{t^2} - t + 1} \right)}^2}}} = 0.\)

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1\\t = - 1\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình (*) có 2 nghiệm \(t > - 1\) khi và chỉ khi \( - 3 < m < 1.\)

Chọn A.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.