Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị bên dưới là của hàm

Câu hỏi số 389244:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và đồ thị bên dưới là của hàm số \(f'\left( x \right).\)

Hỏi hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\) đồng biến trên khoảng nào sau đây?

A. \(\left( { - \infty ; - 1} \right).\)

B. \(\left( {2; + \infty } \right).\)

C. \(\left( {0;1} \right).\)

D. \(\left( { - 1;0} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389244

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\,\,b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {a;\,\,b} \right).\)

Từ tính đơn điệu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) ta tính \(g'\left( x \right)\) và tìm khoảng đồng biến của hàm số \(g\left( x \right).\)

Giải chi tiết

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {x - 1} \right) - \frac{{{x^3}}}{3} + \frac{{{x^2}}}{2}\)

\( \Rightarrow g'\left( x \right) = f'\left( {x - 1} \right) - {x^2} + x\)

Đặt \(x - 1 = t \Rightarrow x = t + 1.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow g'\left( {t + 1} \right) = f'\left( t \right) - {\left( {t + 1} \right)^2} + t + 1\\ \Leftrightarrow g'\left( {t + 1} \right) = f'\left( t \right) - {t^2} - t\\ \Rightarrow g'\left( {t + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) - {t^2} - t = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( t \right) = {t^2} + t\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Số nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và đồ thị hàm số \(y = {t^2} + t\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\\t = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 1 = - 1\\x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right..\)

Ta có BBT:

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.