Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(10{u_n} + {u_{10}} + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} = 20{u_{n -

Câu hỏi số 389717:

Vận dụng cao

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(10{u_n} + {u_{10}} + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} = 20{u_{n - 1}} + \sqrt {2{u_{10}} - 1} \), với mọi số nguyên \(n \ge 2\) Tìm số tự nhiên \({n_0}\) nhỏ nhất để \({u_{{n_0}}} > {2019^{2019}}\).

A. \({n_0} = 22177\)

B. \({n_0} = 22168\).

C. \({n_0} = 22178\).

D. \({n_0} = 22167\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:389717

Phương pháp giải

CSN có số hạng đầu \({u_1}\), công bội \(q\) có số hạng tổng quát là: \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\,\,\,\left( {n \ge 2} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,10{u_n} + {u_{10}} + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} = 20{u_{n - 1}} + \sqrt {2{u_{10}} - 1} \\ \Leftrightarrow 10\left( {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} \right) + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} + {u_{10}} - \sqrt {2{u_{10}} - 1} = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {10\left( {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} \right) + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} } \right) + 2{u_{10}} - 1 - 2\sqrt {2{u_{10}} - 1} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {10\left( {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} \right) + \sqrt {{u_n} - 2{u_{n - 1}}} } \right) + {\left( {\sqrt {2{u_{10}} - 1} - 1} \right)^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_n} - 2{u_{n - 1}} = 0\\\sqrt {2{u_{10}} - 1} - 1 = 0\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,{u_n} - 2{u_{n - 1}} \ge 0,\,\,{{\left( {\sqrt {2{u_{10}} - 1} - 1} \right)}^2} \ge 0} \right)\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_n} = 2{u_{n - 1}}\,\,\left( {CSN} \right)\\\sqrt {2{u_{10}} - 1} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\\{u_{10}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_n} = {u_1}{.2^{n - 1}}\\{u_1}{.2^9} = 1\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {u_n} = \dfrac{1}{{{2^9}}}{.2^{n - 1}} = {2^{n - 10}}.\)

\({u_{{n_0}}} > {2019^{2019}} \Leftrightarrow {2^{{n_0} - 10}} > {2019^{2019}}\)\( \Leftrightarrow {n_0} - 10 > 2019.{\log _2}2019\)\( \Leftrightarrow {n_0} > 10 + 2019.{\log _2}2019 \approx 22177,5\)

\( \Rightarrow \) Số tự nhiên \({n_0}\) nhỏ nhất thỏa mãn là: \({n_0} = 22178\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.