Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho

Câu hỏi số 390116:

Vận dụng

Chứng minh rằng tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho \(2019\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390116

Phương pháp giải

+) Áp dụng nguyên lý Dirichle: Có \(n\) số, sẽ tồn tại \(2\) số có cùng số dư khi chia cho số \(n - 1\)

+) Áp dụng tính chất chia hết của một hiệu

Giải chi tiết

Xét \(2020\) số có dạng \(1,\,\,11,\,\,111, \ldots ,\,\,11 \ldots 11\).

Theo nguyên tắc Dirichle, tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\).

Giả sử, hai số có cùng số dư khi chia cho \(2019\) là \(A = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1}\) và \(B = \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1}\) với \(k < n\).

Khi đó, \(A - B = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\,so\,\,1} - \underbrace {11 \ldots 11}_{k\,\,so\,\,1} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\underbrace {00 \ldots 00}_{k\,\,so\,\,0} = \underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1} \cdot {10^k}\) chia hết cho \(2019\).

Vì \(A - B\,\, \vdots \,\,2019\) mà \(\left( {{{10}^k},\,\,2019} \right) = 1\) suy ra \(\underbrace {11 \ldots 11}_{n\,\, - \,\,k\,\,so\,\,1}\) chia hết cho\(\,2019\).

Vậy tồn tại một số tự nhiên gồm toàn chữ số \(1\) chia hết cho \(2019\).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link