Hãy tính các vectơ \(\overrightarrow {GI} ,\,\,\overrightarrow {CG'} \) theo \(\overrightarrow a

Câu hỏi số 390277:

Vận dụng

Hãy tính các vectơ \(\overrightarrow {GI} ,\,\,\overrightarrow {CG'} \) theo \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390277

Phương pháp giải

Sử dụng công thức trọng tâm: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Với mọi điểm ta luôn có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).

Giải chi tiết

Vì \(I\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB'\) và \(A'B\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'B} - \overrightarrow {CI} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {A'B} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CI} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right) + \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\overrightarrow c - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow c - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} = \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)

Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {CB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.