Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\)
Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB'\) và \(A'B\). Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \).
Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:
Sử dụng công thức trọng tâm: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Với mọi điểm ta luôn có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).
Vì \(I\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB'\) và \(A'B\).
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'B} - \overrightarrow {CI} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {A'B} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CI} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right) + \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\overrightarrow c - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow c - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} = \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)
Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên ta có:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {CB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)
Áp dụng định lí Ta-lét và định lí Ta-lét đảo.
Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\).
Trong \(\left( {CMM'C'} \right)\) gọi \(K = MM' \cap CG'\).
Do M'G' // MC nên áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{KM'}}{{KM}} = \dfrac{{M'G'}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow KM' = \dfrac{1}{2}MM' = IM = IM'\).
Do đó \(\dfrac{{MI}}{{MK}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{MG}}{{MC}}\)\( \Rightarrow GI\parallel KC\) (Định lí Ta-lét đảo).
Mà \(G' \in KC\). Vậy \(GI\parallel CG'\).
Quảng cáo
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
