Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\)

Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\). Gọi \(G,\,\,G'\) lần lượt là trọng tâm tam giác \(ABC\) và \(A'B'C'\). Gọi \(I\) là giao điểm của \(AB'\) và \(A'B\). Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AC} = \overrightarrow c \).

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Hãy tính các vectơ \(\overrightarrow {GI} ,\,\,\overrightarrow {CG'} \) theo \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \).

Xem lời giải

Câu hỏi:390277

Phương pháp giải

Sử dụng công thức trọng tâm: Cho tam giác \(ABC\) có trọng tâm \(G\). Với mọi điểm ta luôn có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} \).

Giải chi tiết

Vì \(I\) là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành \(ABB'A'\) nên \(I\) là trung điểm của \(AB'\) và \(A'B\).

Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + \overrightarrow {IC} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = \dfrac{1}{3}\left( { - \dfrac{1}{2}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow {A'B} - \overrightarrow {CI} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\overrightarrow {AB'} + \dfrac{1}{6}\overrightarrow {A'B} - \dfrac{1}{3}\overrightarrow {CI} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {A'B'} } \right) + \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AB} } \right) - \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) + \dfrac{1}{6}\overrightarrow c - \dfrac{1}{6}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {2\overrightarrow a - \overrightarrow c - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {IG} = - \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {GI} = \dfrac{1}{6}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)

Vì \(G'\) là trọng tâm tam giác \(A'B'C'\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA'} + \overrightarrow {CB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB'} + \overrightarrow {CC'} } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( { - \overrightarrow c + \overrightarrow a - \overrightarrow c + \overrightarrow b + \overrightarrow a + \overrightarrow a } \right)\\ \Leftrightarrow \overrightarrow {CG'} = \dfrac{1}{3}\left( {3\overrightarrow a + \overrightarrow b - 2\overrightarrow c } \right)\end{array}\)

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Chứng minh \(GI\parallel CG'\).

Xem lời giải

Câu hỏi:390278

Phương pháp giải

Áp dụng định lí Ta-lét và định lí Ta-lét đảo.

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,M'\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(A'B'\).

Trong \(\left( {CMM'C'} \right)\) gọi \(K = MM' \cap CG'\).

Do M'G' // MC nên áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{KM'}}{{KM}} = \dfrac{{M'G'}}{{MC}} = \dfrac{1}{3}\).

\( \Rightarrow KM' = \dfrac{1}{2}MM' = IM = IM'\).

Do đó \(\dfrac{{MI}}{{MK}} = \dfrac{1}{3} = \dfrac{{MG}}{{MC}}\)\( \Rightarrow GI\parallel KC\) (Định lí Ta-lét đảo).

Mà \(G' \in KC\). Vậy \(GI\parallel CG'\).

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.