Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là

Câu hỏi số 390606:

Vận dụng

Cho lăng trụ đều \(ABC.A'B'C'\) có cạnh đáy bằng \(1\), cạnh bên bằng \(\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm của \(CC'\). Tính sin góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ACB'} \right)\) và \(\left( {BMA'} \right)\).

A. \(\dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt {21} }}{5}\)

C. \(\dfrac{1}{{\sqrt 5 }}\)

D. \(\dfrac{2}{5}\)

Đáp án đúng là: A

Phương pháp giải

Đặt hình vào trong hệ trục tọa độ \(Oxyz\)

Giải chi tiết

Trong mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) kẻ \(AB' \cap A'B = \left\{ I \right\}\)

Đặt gốc tọa độ \(O\left( {0;0;0} \right)\) là trung điểm của \(A'B'\).

\(OC'\) là trục \(Ox\), \(OB'\) là trục \(Oy\), \(OI\) là trục \(Oz\).

Ta có: \(A\left( {0; - \dfrac{1}{2};\sqrt 3 } \right);\,\,C\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0;\sqrt 3 } \right);\,\,B'\left( {0;\dfrac{1}{2};0} \right)\).

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ACB'} \right)\) là: \(\left( {ACB'} \right): - \sqrt 3 x + 3y + \sqrt 3 z = 0\).

Có \(B\left( {0;\dfrac{1}{2};\sqrt 3 } \right);\,\,M\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2};0;\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right);\,\,A'\left( {0; - \dfrac{1}{2};0} \right)\)

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( {BMA'} \right)\) là: \(\left( {BMA'} \right):\,\,3y - \sqrt 3 z = 0\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \left( {\left( {ACB'} \right);\left( {BMA'} \right)} \right) = \dfrac{{\left| { - \sqrt 3 .0 + 3.3 + \sqrt 3 .( - \sqrt 3 )} \right|}}{{\sqrt {3 + 3 + {3^2}} .\sqrt {3 + {3^2}} }} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\\ \Rightarrow \sin \left( {\left( {ACB'} \right);\left( {BMA'} \right)} \right) = \sqrt {1 - {{\left( {\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}} = \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}\end{array}\)

Xem lời giải

Câu hỏi:390606

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.