Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\,\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(I\) là trung

Câu hỏi số 390674:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AD\,\left( {D \in BC} \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(AC,\) kẻ \(AH\) vuông góc với \(BI\) tại \(H.\)

a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)

b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)

c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \frac{1}{2}AD.BH\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390674

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạng dưới các góc bàng nhau là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác đồng dạng theo trường hợp góc –góc.

c) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng tương ứng để suy ra các đẳng thức cần chứng minh.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(ABDH\) nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(ABDH.\)

Xét tứ giác \(AHDB\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHB = {90^0}\,\,\,\left( {AH \bot BI} \right)\\\angle ADB = {90^0}\,\,\,\left( {AD \bot BC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \angle AHB = \angle ADB = {90^0}.\)

\( \Rightarrow AHDB\) là tứ giác nội tiếp (có hai đỉnh \(D,H\) kề nhau cùng nhìn cạnh \(AB\) dưới các góc vuông).

Gọi \(K\) là trung điểm \(AB\).

Ta có \(\angle AHB,\,\,\angle ADB\) cùng nhìn đoạn \(AB\) dưới góc \({90^0}\,\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,H,\,\,D\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(AB.\)

Vậy \(K\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(AHDB.\)

b) Chứng minh tam giác \(BDH\) đồng dạng với tam giác \(BIC.\)

Vì tứ giác \(AHDB\) nội tiếp (theo câu a) nên \(\angle BAD = \angle BHD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)) (1)

Lại có \(\angle BAD = \angle ACB\) (2) (cùng phụ với \(\angle ABD\) )

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BHD = \angle ICB\left( { = \angle BAD} \right)\)

Xét \(\Delta BHD\) và \(\Delta BCI\) có

\(\begin{array}{l}\angle B\,\,\,chung\\\angle BHD = \angle ICB\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BHD \sim \Delta BCI\,\,\,\left( {g - g} \right).\,\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

c) Chứng minh \(AB.HD = AH.BD = \frac{1}{2}AD.BH\)

+) Vì \(\Delta BHD \sim \Delta BCI\) (theo câu b) nên \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{HD}}{{IC}}\) mà \(IC = \frac{1}{2}AC\) nên \(\frac{{BH}}{{BC}} = \frac{{HD}}{{\frac{1}{2}AC}} \Leftrightarrow \frac{{HB}}{{HD}} = \frac{{2BC}}{{AC}}\) (3)

+) Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta CAB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle B\,\,\,\,chung\\\angle ADB = \angle BAC = 90^\circ \\ \Rightarrow \Delta {\rm A}DB \sim \Delta CAB\,\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{AD}}{{CA}} = \frac{{AB}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AD}}\,\,\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Từ (3) và (4) ta có \(\frac{{HB}}{{HD}} = \frac{{2AB}}{{AD}} \Leftrightarrow HD.AB = \frac{1}{2}AD.BH\) (*)

+) Vì \(\Delta BHD \sim \Delta BCI\) (theo câu b) nên \(\frac{{IB}}{{IC}} = \frac{{BD}}{{HD}}\) mà \(IA = IC\) nên ta có \(\frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{BD}}{{HD}}\) (5)

+) Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta IAB\) có:

\(\begin{array}{l}\angle ABI\,\,\,chung\\\angle AHB = \angle BAI = 90^\circ \\ \Rightarrow \Delta AHB \sim \Delta IAB\,\,\,\left( {g - g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{IB}}{{IA}} = \frac{{AB}}{{AH}}\,\,\,\,\left( 6 \right)\end{array}\)

Từ (5) và (6) ta có \(\frac{{DB}}{{HD}} = \frac{{AB}}{{AH}} \Leftrightarrow AH.BD = AB.HD\) (**)

Từ (*) và (**) ta có \(AB.HD = AH.BD = \frac{1}{2}AD.BH\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link