Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 2019cm,\) có dây \(BC\) cố định \(\left( {BC < 2R} \right),\)

Câu hỏi số 390890:

Vận dụng

Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 2019cm,\) có dây \(BC\) cố định \(\left( {BC < 2R} \right),\) \(A\) là một điểm trên cung lớn \(BC\) sao cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn. Các đường cao \(BM\) và \(CN\) của tam giác \(ABC\) cắt nhau tại \(H\) (với \(M \in AC,\,\,N \in AB\)).

a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp một đường tròn

b) Tia \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P.\) Chứng minh \(\angle BCN = \angle PAC\).

c) Cho biết \(\angle BOC = 120^\circ .\) Tính độ dài đoạn \(AH.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390890

Phương pháp giải

a) Chỉ ra tứ giác có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ \) là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(CH//BP\) rồi sử dụng dụng tính chất hai đường thẳng song song và tính chất góc nội tiếp

c) Sử dụng tính chất hình bình hành, tính chất đường trung bình của tam giác và quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(AMHN\) nội tiếp một đường tròn

Xét tam giác \(ABC\) có \(BM,CN\) là hai đường cao nên \(BM \bot AC,\,\,CN \bot AB \Rightarrow \angle ANH = \angle AMH = 90^\circ \).

Xét tứ giác \(AMNH\) có \(\angle ANH + \angle AMH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \) mà hai góc ở vị trí đối nhau nên tứ giác \(AMHN\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Tia \(AO\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P.\) Chứng minh \(\angle BCN = \angle PAC\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle ABP = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(BP \bot AB\).

Lại có \(CN \bot AB\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow CN//BP\).

Suy ra \(\angle BCN = \angle CBP\) (1) (hai góc ở vị trí so le trong)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle PAC = \angle CBP\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CP\))

Từ (1) và (2) suy ra \(\angle BCN = \angle PAC\) (đpcm)

c) Cho biết \(\angle BOC = 120^\circ .\) Tính độ dài đoạn \(AH.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(\angle PCA = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \(CP \bot AC\).

Lại có \(BM \bot AC\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow BM//CP\).

Mặt khác theo câu b) thì \(CN//BP\).

Từ đó, tứ giác \(BHCP\) có \(\left\{ \begin{array}{l}BP//CH\,\\CP//BH\,\end{array} \right.\) nên \(BHCP\) là hình bình hành (dhnb)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(HP\) và \(BC\), khi đó \(I\) là trung điểm của \(HP\) và \(I\) là trung điểm của \(BC\) (vì \(BHCP\) là hình bình hành)

Xét tam giác \(PAH\) có \(O\) là trung điểm \(AP,\,\,\,I\) là trung điểm \(PH\) nên \(OI\) là đường trung bình \(\Delta PAH\).

Suy ra \(AH = 2OI\).

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có \(I\) là trung điểm \(BC \Rightarrow OI \bot BC\) tại \(I\) (quan hệ giữa đường kính và dây)

Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (do \(OB = OC = R\)) có \(OI\) là đường cao nên \(OI\) cũng là đường phân giác của \(\angle BOC\)

\( \Rightarrow \angle BOI = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}.120^\circ = 60^\circ \)

Xét tam giác \(BOI\) vuông tại \(I\) có \(OI = OB.\cos \angle BOI = 2019.\cos 60^\circ = \frac{{2019}}{2}\)

Suy ra \(AH = 2OI = 2.\frac{{2019}}{2} = 2019.\)

Vậy \(AH = 2019.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link