Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 40, độ dài đường chéo bằng
Cho hình hộp chữ nhật có tổng độ dài tất cả các cạnh bằng 40, độ dài đường chéo bằng \(5\sqrt 2 \). Tìm thể tích lớn nhất \({V_{{\rm{max}}}}\) của khối hộp chữ nhật đó.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Khối hộp chữ nhật có 3 độ dài là a, b, c có độ dài đường chéo là: \(\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \) và thể tích \(V = abc\).
- Biến đổi, rút tích \(ab\) theo \(c\).
- Chặn giá trị của \(c\).
- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTLN.
Không mất tính tổng quát, giả sử khối hộp chữ nhật đó có 3 độ dài là a, b, c , trong đó: \(a \ge b \ge c\)
Theo đề bài, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {a + b + c} \right).4 = 40\\\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 5\sqrt 2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + b + c = 10\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{a^2} + {b^2} + {c^2} = 50\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l}\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {a + b} \right)^2} - 2ab + {c^2} = 50\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {10 - c} \right)^2} - 2ab + {c^2} = 50\,\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2ab = {\left( {10 - c} \right)^2} + {c^2} - 50\\\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow ab = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {10 - c} \right)}^2} + {c^2} - 50} \right]\\ \Rightarrow {V_{hh}} = abc = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {10 - c} \right)}^2} + {c^2} - 50} \right]c\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {c^3} - 10{c^2} + 25c\end{array}\)
Do \(a + b + c = 10,\) mà \(a + b + c \ge 3c \Leftrightarrow c \le \dfrac{{10}}{3}.\)
Xét hàm số \(f\left( c \right) = {c^3} - 10{c^2} + 25c\)với \(c \in \left( {0;\dfrac{{10}}{3}} \right)\)ta có:
\(f'\left( c \right) = 3{c^2} - 20c + 25,\,\,f'\left( c \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\c = \dfrac{5}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\dfrac{{10}}{3}} \right)} f\left( c \right) = f\left( {\dfrac{5}{3}} \right) = \dfrac{{500}}{{27}}\)
Với \(c = \dfrac{5}{3} \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}a + b = \dfrac{{25}}{3}\\{a^2} + {b^2} = \dfrac{{425}}{9}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25}}{3} - a\\{a^2} + {\left( {\dfrac{{25}}{3} - a} \right)^2} = \dfrac{{425}}{9}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25}}{3} - a\\9{a^2} - 75a + 100 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = \dfrac{{25}}{3} - a\\\left[ \begin{array}{l}b = \dfrac{5}{6}\\b = \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{20}}{3}\\b = \dfrac{5}{3}\end{array} \right.\,\,\,\left( {tm} \right)\\\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{5}{3}\\b = \dfrac{{20}}{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)
Vậy, thể tích của khối hộp chữ nhật lớn nhất là \({V_{{\rm{max}}}} = \dfrac{{500}}{{27}}\), khi hình hộp chữ nhật có 3 độ dài là \(\dfrac{5}{3};\dfrac{5}{3};\dfrac{{20}}{3}\).
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
