Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, \(BC = 2{\rm{a}}\). Góc giữa

Câu hỏi số 391016:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, \(BC = 2{\rm{a}}\). Góc giữa \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BB'C} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

A. \(2{a^3}\).

B. \({a^3}\sqrt 2 \).

C. \({a^3}\sqrt 3 \).

D. \({a^3}\sqrt 6 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391016

Phương pháp giải

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của các góc nhọn trong tam giác vuông và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính chiều cao của khối lăng trụ.

- Khối lăng trụ có chiều cao \(h\), diện tích đáy \(B\) có thể tích là \(V = B.h\).

Giải chi tiết

Gọi M là trung điểm của BC. Do \(\Delta \)ABC cân tại A nên \(AM \bot BC\)

Mà \(AM \bot BB' \Rightarrow AM \bot \left( {BB'C} \right)\)

Kẻ \(MH \bot B'C,\,BK \bot B'C\)\( \Rightarrow \angle MHA = \left( {\left( {BB'C} \right);\left( {AB'C} \right)} \right) = {60^0}\)

Tam giác ABC vuông cân tại A \( \Rightarrow AM = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{{2{\rm{a}}}}{2} = a\)

Tam giác AMH vuông tại M, \(\angle MHA = {60^0}\) \( \Rightarrow MH = \dfrac{{AM}}{{\tan {{60}^0}}} = \dfrac{a}{{\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow BK = 2.\dfrac{a}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}\)

Tam giác BB’C vuông tại B, BK là đường cao \( \Rightarrow \dfrac{1}{{B{K^2}}} = \dfrac{1}{{B{C^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{2a}}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {2{\rm{a}}} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{BB{'^2}}}\)\( \Rightarrow BB' = a\sqrt 2 \)\( \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.BB' = \left( {\dfrac{1}{2}.a.2{\rm{a}}} \right).a\sqrt 2 = {a^3}\sqrt 2 \).

Chọn B.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.