Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\),\(AD = DC = x\), \(AB =
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\),\(AD = DC = x\), \(AB = 2x\). Tam giác \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(SAD\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(G\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Chuyển bài toán tính \(d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right)\) sang tính \(d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)\) với \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).
- Dựng đường thẳng qua \(H\) và vuông góc với \(\left( {SBC} \right)\).
- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.
Gọi \(H,\,\,M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,AD,\,\,AH\).
Do tam giác \(SAB\) là tam giác đều nên \(SH \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right.\)\( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Ta có: \(MG \cap \left( {SBC} \right) = S \Rightarrow \dfrac{{d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{GS}}{{MS}} = \dfrac{2}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Lại có \(MN\parallel DH\parallel BC\) (Do \(MN\) là đường trung bình của \(\Delta ADH\))
\( \Rightarrow MN\parallel \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {M;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}d\left( {N;\left( {SBC} \right)} \right).\)
Ta lại có: \(NH \cap \left( {SBC} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {N;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{NB}}{{HB}} = \dfrac{3}{2}\) \( \Rightarrow d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{2}d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {H;\left( {SBC} \right)} \right).\)
Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HE \bot BC\,\,\left( {E \in BC} \right)\), trong \(\left( {SHE} \right)\) kẻ \(HK \bot SE\,\,\left( {K \in SE} \right)\) ta có :
\(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot HE\\BC \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SHE} \right)\) \( \Rightarrow BC \bot HK\).
\(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SE\\HK \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SBC} \right)\) \( \Rightarrow d\left( {H;\left( {SBC} \right)} \right) = HK\).
Do \(CH\parallel AD,\,\,AD \bot AB\) nên \(CH \bot AB\), do đó tam giác \(HBC\) vuông tại \(H\).
Tam giác \(SAD\) đều cạnh \(2x\) nên \(SH = \dfrac{{2x\sqrt 3 }}{2} = x\sqrt 3 \).
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{H{C^2}}} + \dfrac{1}{{H{B^2}}} = \dfrac{1}{{{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{2}{{{x^2}}}\\\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{E^2}}} = \dfrac{1}{{3{x^2}}} + \dfrac{2}{{{x^2}}} = \dfrac{7}{{3{x^2}}}\\ \Rightarrow HK = \dfrac{{x\sqrt {21} }}{7}\end{array}\)
Vậy \(d\left( {G;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{x\sqrt {21} }}{7}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
