Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a\), \(IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) với \(I,\,\,J\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 391345:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a\), \(IJ = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) với \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AD\). Số đo góc giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CD\) là:

A. \({30^0}\)

B. \({45^0}\)

C. \({60^0}\)

D. \({90^0}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391345

Phương pháp giải

- Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,BC\). Chứng minh \(MNIJ\) là hình thoi.

- Chứng minh \(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {IM;IN} \right)\).

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông, tính \(\angle MIO\), từ đó tính \(\angle MIN\).

Giải chi tiết

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(AC,\,BC\).

Ta có: \(MJ,\,\,NI\) lần lượt là đường trung bình của các tam giác \(ACD\) và \(BCD\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}MJ\parallel NI\parallel CD\\MJ = NI = \dfrac{1}{2}CD\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow MNIJ\) là hình bình hành.

Lại có: \(MI\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) nên \(MI = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}CD = MJ\).

\( \Rightarrow MNIJ\) là hình thoi.

Gọi \(O = MN \cap IJ\) ta có: \(\angle MIN = 2\angle MIO\) (tính chất hình thoi).

Xét tam giác \(MIO\) vuông tại \(O\) có: \(\cos \angle MIO = \dfrac{{IO}}{{MI}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}}}{{\dfrac{a}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

\( \Rightarrow \angle MIO = {30^0} \Rightarrow \angle MIN = {60^0}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB\parallel IM\\CD\parallel IN\end{array} \right. \Rightarrow \)\(\angle \left( {AB;CD} \right) = \angle \left( {IM;IN} \right) = \angle MIN = {60^0}\).

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.