Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 20;20} \right)\) để

Câu hỏi số 391742:

Vận dụng cao

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc khoảng \(\left( { - 20;20} \right)\) để với mọi cặp hai số \(\left( {x;y} \right)\) có tổng lớn hơn 1 đều đồng thời thỏa mãn \(\log _3^2\left( {2x + 4y - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\) và \({e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = 1 - x - 3y\)?

A. \(15\)

B. \(17\)

C. \(14\)

D. \(16\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:391742

Phương pháp giải

- Giải phương trình \({e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = 1 - x - 3y\) bằng cách đưa về hàm đặc trưng, tìm được mối liên hệ của \(x;\,\,y\).

- Thay vào bất phương trình còn lại, giải tìm điều kiện của \(m\) thỏa mãn.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y - 1 > 0\\1 - 2y > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x + 4y > 1\\y < \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

Ta có :

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = 1 - x - 3y\\ \Leftrightarrow {e^{3x + y}} - {e^{2x - 2y + 1}} = \left( {2x - 2y + 1} \right) - \left( {3x + y} \right)\\ \Leftrightarrow {e^{3x + y}} + \left( {3x + y} \right) = {e^{2x - 2y + 1}} + \left( {2x - 2y + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Xét hàm số đặc trưng : \(f\left( t \right) = {e^t} + t\) trên \(\mathbb{R}\) ta có: \(f'\left( t \right) = {e^t} + 1 > 0,\,\,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Do đó, hàm số \(f\left( t \right)\) luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

Mà theo (1) ta có \(f\left( {3x + y} \right) = f\left( {2x - 2y + 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow 3x + y = 2x - 2y + 1 \Leftrightarrow x = 1 - 3y\).

Theo bài ra ta có: \(x + y > 1 \Leftrightarrow 1 - 3y + y > 1 \Leftrightarrow y < 0 \Leftrightarrow x > 1\).

Thay \(x = 1 - 3y\) vào bất phương trình \(\log _3^2\left( {2x + 4y - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\log _3^2\left( {2\left( {1 - 3y} \right) + 4y - 1} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\\ \Leftrightarrow \log _3^2\left( {1 - 2y} \right) + 2\left( {m - 1} \right){\log _3}\left( {1 - 2y} \right) + {m^2} - 9 > 0\end{array}\)

Đặt \(t = {\log _3}\left( {1 - 2y} \right)\). Do \(1 - 2y > 1 \Rightarrow t = {\log _3}\left( {1 - 2y} \right) > 0\).

Khi đó, bất phương trình trở thành \(f\left( t \right) = {t^2} + 2\left( {m - 1} \right)t + {m^2} - 9 > 0,\,\,\,\forall t > 0\).

TH1: \(f\left( t \right) > 0\,\,\forall t \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \Delta ' < 0 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 9 < 0\) \(10 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > 5\).

TH2: Phương trình \(f\left( t \right) = 0\) có hai nghiệm \({t_1},\,\,{t_2}\) thỏa mãn \({t_1} \le {t_2} \le 0\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\{t_1} + {t_2} \le 0\\{t_1}{t_2} \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - {m^2} + 9 \ge 0\\ - \left( {m - 1} \right) \le 0\\{m^2} - 9 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 5\\m \ge 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3\\m \le - 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le m \le 5\).

Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m \ge 3\).

Mặt khác \(m\) là số nguyên thuộc khoảng \(\left( { - 20;20} \right)\) nên \(m \in \left\{ {3;4;5;....;18;19} \right\}\)là các giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.