Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(BM.\) Gọi \(D\) là hình chiếu của

Câu hỏi số 392486:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A,\) đường trung tuyến \(BM.\) Gọi \(D\) là hình chiếu của \(C\) trên \(BM\), \(H\) là hình chiếu của \(D\) trên \(AC.\) Chứng minh rằng \(AH = 3HD.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:392486

Phương pháp giải

- Chứng minh hai tam giác \(ABM\) và \(HCD\) đồng dạng, từ đó tính \(HC\) theo \(HD\).

- Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(MCD\), tính \(MH\) theo \(\).

- Từ đó tính \(AM,\,\,MC\) theo \(HD\) và tính \(AH\) theo \(HD\).

Giải chi tiết

Xét tam giác \(ABM\)và tam giác \(HCD\) ta có:

+ \(\widehat {BAM} = \widehat {DHC} = {90^0}\) (gt)

+ \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {ABM} = {90^0} - \widehat {BMA}\\\widehat {HCD} = {90^0} - \widehat {DMC}\\\widehat {BMA} = \widehat {DMC}\,\,\,\left( {dd} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {HCD}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta HCD\,\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{HC}} = \dfrac{{AM}}{{HD}} \Rightarrow \dfrac{{HC}}{{HD}} = \dfrac{{AB}}{{AM}} = 2 \Rightarrow HC = 2HD.\end{array}\)

Xét tam giác \(MCD\)vuông tại \(D\), đường cao \(DH\) ta có:

\(H{D^2} = MH.HC = MH.2HD\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow MH = 0,5HD\\ \Rightarrow AM = MC = MH + HC = 0,5HD + 2HD = 2,5HD\\ \Rightarrow AH = AM + MH = 2,5HD + 0,5HD = 3HD.\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link