Cho tam giác \(ABC\) có hai đường phân giác \(BD,\,\,CE\) cắt nhau tại \(I\) thỏa mãn \(BD.CE =
Cho tam giác \(ABC\) có hai đường phân giác \(BD,\,\,CE\) cắt nhau tại \(I\) thỏa mãn \(BD.CE = 2BI.CI\). Chứng minh rằng \(ABC\) là tam giác vuông.
Quảng cáo
- Sử dụng tính chất đường phân giác, định lý Pytago đảo tính các tỉ số \(\dfrac{{BI}}{{BD}}\) và \(\dfrac{{CI}}{{CE}}\).
- Thay hai tỉ số vừa tìm được vào giả thiết \(BD.CE = 2BI.CI\).
- Biến đổi, rút gọn đẳng thức sau đó sử dụng định lí Pytago đảo.
Áp dụng tích chất đường phân giác ta có:
\(\dfrac{{AD}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AD + CD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}} \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)
\(I\) là giao điểm của hai đường phân giác \(BD,CE\)
\( \Rightarrow AI\)là phân giác của tam giác \(ABC.\)
Khi đó tiếp tục áp dụng tích chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{BI}}{{ID}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{BI}}{{BI + ID}} = \dfrac{{AB}}{{AB + AD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}}}\\ = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}\end{array}\)
Tương tự, ta được: \(\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}.\)
Theo bài ra ta có: \(BD.CE = 2BI.CI\)
\( \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{BI}}{{BD}}.\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}.\dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}\)
\( \Rightarrow {\left( {AB + BC + AC} \right)^2} = 2\left( {AB + BC} \right)\left( {AC + BC} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} + A{C^2} + 2AB.BC + 2AB.AC + 2AC.BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2AB.AC + 2AB.BC + 2AC.BC + 2B{C^2}\end{array}\)
\( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pytago đảo).
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
