Cho tam giác \(ABC\) có hai đường phân giác \(BD,\,\,CE\) cắt nhau tại \(I\) thỏa mãn \(BD.CE =

Câu hỏi số 392487:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có hai đường phân giác \(BD,\,\,CE\) cắt nhau tại \(I\) thỏa mãn \(BD.CE = 2BI.CI\). Chứng minh rằng \(ABC\) là tam giác vuông.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:392487

Phương pháp giải

- Sử dụng tính chất đường phân giác, định lý Pytago đảo tính các tỉ số \(\dfrac{{BI}}{{BD}}\) và \(\dfrac{{CI}}{{CE}}\).

- Thay hai tỉ số vừa tìm được vào giả thiết \(BD.CE = 2BI.CI\).

- Biến đổi, rút gọn đẳng thức sau đó sử dụng định lí Pytago đảo.

Giải chi tiết

Áp dụng tích chất đường phân giác ta có:

\(\dfrac{{AD}}{{CD}} = \dfrac{{AB}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AD + CD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + BC}} \Rightarrow AD = \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}.\)

\(I\) là giao điểm của hai đường phân giác \(BD,CE\)

\( \Rightarrow AI\)là phân giác của tam giác \(ABC.\)

Khi đó tiếp tục áp dụng tích chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{BI}}{{ID}} = \dfrac{{AB}}{{AD}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{BI}}{{BD}} = \dfrac{{BI}}{{BI + ID}} = \dfrac{{AB}}{{AB + AD}} = \dfrac{{AB}}{{AB + \dfrac{{AB.AC}}{{AB + BC}}}}\\ = \dfrac{1}{{1 + \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}\end{array}\)

Tương tự, ta được: \(\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}.\)

Theo bài ra ta có: \(BD.CE = 2BI.CI\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{BI}}{{BD}}.\dfrac{{CI}}{{CE}} = \dfrac{{AB + BC}}{{AB + BC + AC}}.\dfrac{{AC + BC}}{{AB + BC + AC}}\)

\( \Rightarrow {\left( {AB + BC + AC} \right)^2} = 2\left( {AB + BC} \right)\left( {AC + BC} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} + B{C^2} + A{C^2} + 2AB.BC + 2AB.AC + 2AC.BC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2AB.AC + 2AB.BC + 2AC.BC + 2B{C^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lý Pytago đảo).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link