Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) với

Câu hỏi số 393676:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đạo hàm \(y = f'\left( x \right)\) với đồ thị như hình vẽ bên. Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương. Khi đó đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?

A. \(\dfrac{2}{3}\).

B. \(\dfrac{4}{3}\).

C. \(\dfrac{3}{4}\).

D. \(\dfrac{3}{2}\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393676

Phương pháp giải

- Đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2;0} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\), lập hệ phương trình tìm \(a,\,\,b,\,\,c\).

- Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương.

- Dựa vào đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) xác định các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), từ đó suy ra nghiệm dương của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\), tức là suy ra nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\).

- Thay nghiệm đó vào phương trình \(f\left( x \right) = 0\) tìm hệ số \(d\).

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c.\)

\(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) đi qua các điểm có tọa độ là \(\left( {0;0} \right);\,\,\left( {2;0} \right);\,\,\left( {1; - 1} \right)\) nên ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}c = 0\\12a + 4b + c = 0\\3a + 2b + c = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{3}\\b = - 1\\c = 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + d.\)

Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ dương nên hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương.

Mà phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \(x = 0,\,\,\,x = 2\) nên để hệ \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 0\\f'\left( x \right) = 0\end{array} \right.\) có nghiệm dương thì \(x = 2\) phải là nghiệm của hệ phương trình, do đó \(x = 2\) cũng là nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = 0\) hay \(f\left( 2 \right) = 0\). Khi đó ta có \(\dfrac{8}{3} - 4 + d = 0 \Leftrightarrow d = \dfrac{4}{3}\).

Vậy đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(\dfrac{4}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.