Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \left( {m - 1} \right)x - 1\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị lần lượt là \(\left( P \right)\) và \(d.\) Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\),\(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \(y_1^3 - y_2^3 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right).\)

Câu 393772: Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \left( {m - 1} \right)x - 1\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị lần lượt là \(\left( P \right)\) và \(d.\) Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\),\(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \(y_1^3 - y_2^3 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right).\)

A. \(m = - 2\)

B. \(m = - 4\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 5\)

Câu hỏi : 393772

Phương pháp giải:

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et và biểu thức bài cho để xác định \(m.\)

Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 1 = 0 \left( * \right)\).

\(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 > 2\\m - 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 1\end{array} \right..\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right..\)

Từ giả thiết ta có: \({y_1} = x_1^2,{y_2} = x_2^2\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}y\,_1^3 - y_2^3 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right) \Leftrightarrow x_1^6 - x_2^6 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\left( {x_1^3 + x_2^3} \right) = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\left( {x_1^3 + x_2^3 - 18} \right) = 0 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Do \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^3 - x_2^3 \ne 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x_1^3 + x_2^3 - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} - 3\left( {m - 1} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} - 3{\left( {m - 1} \right)^2} + 3{\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) + 6\left( {m - 1} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}\left( {m - 1 - 3} \right) + 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 1 - 3} \right) + 6\left( {m - 1 - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right){\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) + 6\left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)\left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3\left( {m - 1} \right) + 6} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 = 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 6 = 0\,\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m = 4\) thỏa mãn bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.