Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \left( {m - 1} \right)x - 1\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị

Câu hỏi số 393772:

Vận dụng

Cho hai hàm số \(y = {x^2}\) và \(y = \left( {m - 1} \right)x - 1\) (với \(m\) là tham số) có đồ thị lần lượt là \(\left( P \right)\) và \(d.\) Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right)\),\(B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) sao cho \(y_1^3 - y_2^3 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right).\)

A. \(m = - 2\)

B. \(m = - 4\)

C. \(m = 4\)

D. \(m = 5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393772

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số.

Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta > 0.\)

Áp dụng định lý Vi-et và biểu thức bài cho để xác định \(m.\)

Đối chiếu với điều kiện của \(m\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right)\) là: \({x^2} - \left( {m - 1} \right)x + 1 = 0 \left( * \right)\).

\(\left( P \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right) \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\)

\( \Leftrightarrow \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} - 4 > 0 \Leftrightarrow \left| {m - 1} \right| > 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 1 > 2\\m - 1 < - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 3\\m < - 1\end{array} \right..\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m - 1\\{x_1}{x_2} = 1\end{array} \right..\)

Từ giả thiết ta có: \({y_1} = x_1^2,{y_2} = x_2^2\)

Theo đề bài ta có:

\(\begin{array}{l}y\,_1^3 - y_2^3 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right) \Leftrightarrow x_1^6 - x_2^6 = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\left( {x_1^3 + x_2^3} \right) = 18\left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x_1^3 - x_2^3} \right)\left( {x_1^3 + x_2^3 - 18} \right) = 0 & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Do \({x_1} \ne {x_2} \Rightarrow x_1^3 - x_2^3 \ne 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( 1 \right) \Leftrightarrow x_1^3 + x_2^3 - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} - 3\left( {m - 1} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^3} - 3{\left( {m - 1} \right)^2} + 3{\left( {m - 1} \right)^2} - 9\left( {m - 1} \right) + 6\left( {m - 1} \right) - 18 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2}\left( {m - 1 - 3} \right) + 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 1 - 3} \right) + 6\left( {m - 1 - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right){\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {m - 1} \right)\left( {m - 4} \right) + 6\left( {m - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)\left[ {{{\left( {m - 1} \right)}^2} + 3\left( {m - 1} \right) + 6} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m - 4 = 0\\{\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {m - 1} \right)x + 6 = 0\,\,\,\,\,\left( {VN} \right)\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow m = 4\,\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy \(m = 4\) thỏa mãn bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link