Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC.\) Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\)cắt
Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn, \(AB < AC.\) Các đường cao \(AD,BE,CF\) của tam giác \(ABC\)cắt nhau tại điểm \(H.\) Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp tứ giác \(DHEC,\) trên cung nhỏ \(EC\) của đường tròn (O) lấy điểm \(I\) (khác điểm \(E\)) sao cho \(IC > IE.\) Đường thẳng \(DI\) cắt đường thẳng \(CE\) tại điểm \(N,\)đường thẳng \(EF\)cắt đường thẳng \(CI\) tại điểm \(M.\)
a) Chứng minh rằng \(NI.ND = NE.NC\)
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) vuông góc với đường thẳng \(CH.\)
c) Đường thẳng \(HM\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\,\,\left( {K \ne H} \right),\) đường thẳng \(KN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(G\,\,\left( {G \ne K} \right),\) đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(T.\) Chứng minh rằng ba điểm \(H,T,G\) thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh tam giác đồng dạng suy ra tỉ số.
b) Sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh hai đường thẳng song song, từ đó suy ra hai đường thẳng vuông góc.
c) Sử dụng tứ giác nội tiếp chứng minh các tam giác đồng dạng.
a) Chứng minh rằng \(NI.ND = NE.NC.\)
Xét \(\Delta NDE\)và \(\Delta NCI\)có:
\(\widehat {END} = \widehat {INC}\)(đối đỉnh)
\(\widehat {EDN} = \widehat {ICN}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(EI\))
\( \Rightarrow \Delta NDE \sim \Delta NCI\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{ND}}{{NC}} = \frac{{NE}}{{NI}} \Rightarrow NI.ND = NE.NC\)(đpcm).
b) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) vuông góc với đường thẳng \(CH.\)
Do các tứ giác \(BFEC,DEIC,ABDE\)nội tiếp nên: \(\widehat {AFE} = \widehat {ACB} = \widehat {DIE}\).
Có \(\widehat {MEC} = \widehat {ABC} = \widehat {DEC} = \widehat {DIC} \Rightarrow MENI\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)
\( \Rightarrow \widehat {DIE} = \widehat {EMN} \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat {EMN}\)
Mà \(\widehat {AFE},\,\,\,\widehat {EMN}\) là hai góc so le trong
\( \Rightarrow MN//AB\)
Lại có: \(CH \bot AB \Rightarrow CH \bot MN\) (đpcm).
c) Đường thẳng \(HM\)cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\,\,\left( {K \ne H} \right),\) đường thẳng \(KN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(G\,\,\left( {G \ne K} \right),\) đường thẳng \(MN\) cắt đường thẳng \(BC\) tại điểm \(T.\) Chứng minh rằng ba điểm \(H,T,G\) thẳng hàng.
Xét \(\Delta ENM\)và \(\Delta TNC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {EMN} = \widehat {EIN} = \widehat {NCT}\\\widehat {ENM} = \widehat {TNC}\\ \Rightarrow \Delta ENM \sim \Delta TNC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{NE}}{{NT}} = \frac{{NM}}{{NC}} \Rightarrow NC.NE = NM.NT\left( 1 \right)\)
Xét \(\Delta ENK\) và \(\Delta GNC\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {KEN} = \widehat {CGN}\\\widehat {ENK} = \widehat {GNC}\\ \Rightarrow \Delta ENK \sim \Delta GNC\,\,\,\left( {g - g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \frac{{NE}}{{NG}} = \frac{{NK}}{{NC}} \Rightarrow NC.NE = NG.NK\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow NM.NT = NG.NK \Rightarrow \frac{{NK}}{{NT}} = \frac{{NM}}{{NG}}\)
\( \Rightarrow \Delta TGN \sim \Delta KMN\,\,\,\left( {c - g - c} \right)\) \( \Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {TGN}\,\,\,\left( 3 \right)\)
Mà \(\widehat {KMN} = \widehat {HCK}\) (cùng phụ với \(\widehat {KHC}),\)
\(\widehat {\,HCK} = \widehat {HGN}\,\,\left( { = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,HK} \right) \Rightarrow \widehat {KMN} = \widehat {HGN}\,\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (3) và (4) ta có \(\widehat {TGN} = \widehat {HGN} \Rightarrow H,T,G\) thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
