Cho \(2020\) cái kẹo vào 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cái kẹo và

Câu hỏi số 393778:

Vận dụng cao

Cho \(2020\) cái kẹo vào 1010 chiếc hộp sao cho không có hộp nào chứa nhiều hơn 1010 cái kẹo và mỗi hộp chứa ít nhất 1 cái kẹo. Chứng minh rằng có thể tìm thấy một số hộp mà tổng số kẹo trong các hộp đó bằng \(1010\) cái.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:393778

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lý Dirichlet để làm bài toán.

Giải chi tiết

TH1: Tất cả các hộp có số kẹo bằng nhau và bằng 2, khi đó lấy \(505\)chiếc hộp bất kỳ ta sẽ có tổng số kẹo là \(1010.\)

TH2: Tồn tại hai hộp có số kẹo khác nhau, khi đó ta sắp xếp các hộp thành một hàng ngang sao cho hai hộp đầu tiên không có cùng số kẹo, ký hiệu \({a_i}\)là số kẹo trong hộp thứ \(i,\)\(i = 1;2;.....;1010\).

Xét các số \(\left\{ \begin{array}{l}{S_1} = {a_1}\\{S_2} = {a_1} + {a_2} + .....\\......\\{S_{1010}} = {a_1} + {a_2} + ..... + {a_{1010}}\end{array} \right.\) với \(1 \le {a_i} \le 1010\)

Nếu tồn tại hai số trong \({S_1};{S_2};....;{S_{1010}}\)có cùng số dư khi chia cho 1010, giả sử là \({S_i},{S_j}\left( {i < j} \right)\) thì \({S_j} - {S_i} = \left( {{a_{i + 1}} + ...... + {a_j}} \right)\,\, \vdots \,\,1010.\)

Do \(1 \le {S_j} - {S_i} \le 2019;\,\,\,\left( {{S_j} - {S_i}} \right)\,\, \vdots \,\,1010\) nên \({S_j} - {S_i} = 1010\) hay \({a_{i + 1}} + ....... + {a_j} = 1010.\)

Nếu trong \({S_1};{S_2};......{S_{1010}}\) không có hai số nào có cùng số dư khi chia cho 1010 (1)

Xét \(1011\) số \({S_1};{S_2};......;{S_{1010}},{a_2}\), theo nguyên lý Dirichle tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 1010. Mà \({S_1} = {a_1} \ne {a_2},1 \le {a_1},{a_2} \le 1010\) nên \({S_1},{a_2}\) không cùng số dư khi chia cho 1010 (2).

Từ (1) và (2) suy ra tồn tại \(k \in \left\{ {2;3;.....;1010} \right\}\)sao cho \({S_k},{a_2}\) cùng số dư khi chia cho 1010.

Khi đó: \({S_k} - {a_2} = {a_1} + {a_3} + ....... + {a_k} \vdots 1010\).

Mà \(1 \le {a_1} + {a_3} + ....... + {a_k} \le 2019 \Rightarrow {a_1} + {a_3} + ..... + {a_k} = 1010\)

Suy ra điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link