Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = a;\)\(AC = BC = AD = BD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\). Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABD} \right)\) ; \(\left( {ABC} \right)\) là \(\alpha \). Tính \(\cos \alpha \) biết mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với cạnh \(AD\).
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.
- Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).
Tam giác \(ABC,\,\,ABD\) là các tam giác cân tại \(C\) và \(D\) nên \(CM \bot AB,\,\,DM \bot AB\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {ABC} \right) \cap \left( {ABD} \right) = AB\\\left( {ABC} \right) \supset CM \bot AB\\\left( {ABD} \right) \supset DM \bot AB\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {ABC} \right);\left( {ABD} \right)} \right) = \angle \left( {CM;DM} \right) = \alpha \).
Gọi \(I\) là trung điểm của MN.
Kẻ \(IK \bot AD\) mà mặt cầu đường kính \(MN\) tiếp xúc với \(AD \Rightarrow IK = IM = IN\).
Xét \(\Delta AMI\) và \(\Delta AKI\) có:
\(\begin{array}{l}\angle AMI = \angle AKI = {90^0}\\AI\,\,chung\\IM = IK\,\,\left( {cmt} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \Delta AMI = \Delta AKI\) (cạnh huyền – cạnh góc vuông).
\( \Rightarrow AM = AK = \dfrac{a}{2}\).
\( \Rightarrow DK = AD - AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{a}{2} = \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\).
Chứng minh tương tự ta có \(DK = DN \Rightarrow DN = \dfrac{{a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}}{2}\) \( \Rightarrow CD = a\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\).
Ta có: \(CM \bot AB\) nên \(\Delta ACM\) vuông tại \(M\), áp dụng định lí Pytago ta có:
\(CM = \sqrt {A{C^2} - A{M^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Tương tự ta tính được \(DM = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(MCD\) có:
\(\begin{array}{l}{\rm{cos}}\angle CMD = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2} - C{D^2}}}{{2.MC.MD}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{2} + \dfrac{{{a^2}}}{2} - {a^2}{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{{{a^2}}}{2}}} = 2\sqrt 3 - 3 > 0\end{array}\)
Vậy \(\cos \alpha = \cos \angle CMD = 2\sqrt 3 - 3\).
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
