Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,\,b\) là các

Câu hỏi số 394739:

Thông hiểu

Biết \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx = a\pi + b\ln 2} \) với \(a,\,\,b\) là các số hữu tỉ. Tính tỷ số \(\dfrac{a}{b}\).

A. \(\dfrac{1}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{6}\)

C. \(\dfrac{1}{4}\)

D. \(\dfrac{1}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394739

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}}\), quy đồng.

- Phân tích \(\cos x = A\left( {\sin x + \cos x} \right) + B\left( {\cos x - \sin x} \right)\), sử dụng phương pháp đồng nhất tìm hệ số \(A,\,\,B\).

- Sử dụng các nguyên hàm cơ bản: \(\int {dx} = x + C,\,\,\int {\dfrac{{dx}}{x}} = \ln \left| x \right| + C\).

Giải chi tiết

Ta có \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{1}{{1 + \tan x}}dx} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x}}{{\sin x + c{\rm{os}}x}}dx} \).

Đặt \(\cos x = A\left( {\sin x + \cos x} \right) + B\left( {\cos x - \sin x} \right)\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \left( {A - B} \right)\sin x + \left( {A + B} \right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số ta được: \(\left\{ \begin{array}{l}A - B = 0\\A + B = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = \dfrac{1}{2}\\B = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\dfrac{1}{2}\left( {\sin x + \cos x} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\cos x - \sin x} \right)}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\sin x + \cos x}}{{\sin x + \cos x}}dx + } \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\dfrac{{\cos x - \sin x}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {dx} + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\dfrac{{\left( {\sin x + \cos x} \right)'}}{{\sin x + \cos x}}dx} \\I = \dfrac{1}{2}\left. x \right|_0^{\frac{\pi }{4}} + \dfrac{1}{2}\left. {\ln \left| {\sin x + \cos x} \right|} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\\I = \dfrac{1}{2}.\dfrac{\pi }{4} + \dfrac{1}{2}\ln \sqrt 2 = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{1}{4}\ln 2\\ \Rightarrow a = \dfrac{1}{8},\,\,b = \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Vậy \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{1}{8}:\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.