Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right);\,\,N\left( {0;0;3}

Câu hỏi số 394741:

Vận dụng

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right);\,\,N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)

A. \(1\)

B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(2\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:394741

Phương pháp giải

- Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)\).

- Sử dụng công thức: \(\cos \left( {\left( P \right);\left( Q \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}}\).

- Vì \(MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0\).

- Rút 2 trong 3 ẩn \(a,\,\,b,\,\,c\) theo ẩn còn lại, từ đó suy ra VTPT của \(\left( \alpha \right)\).

- Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\) và có VTPT \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) có phương trình: \(a\left( {x - {x_M}} \right) + b\left( {y - {y_M}} \right) + c\left( {z - {z_M}} \right) = 0\).

- Khoảng cách từ điểm \(O\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đến \(\left( \alpha \right):\,\,Ax + By + Cz + D = 0\) là: \(d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} \right|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }}\).

Giải chi tiết

Gọi VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(\overrightarrow n \left( {a;b;c} \right)\) \(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2} \ne 0} \right)\).

Vì mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) có VTPT \(\overrightarrow i \left( {1;0;0} \right)\) một góc \({60^0}\) nên ta có:

\(\begin{array}{l}\cos {60^0} = \dfrac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \dfrac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} = 2a\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = 4{a^2}\\ \Leftrightarrow 3{a^2} = {b^2} + {c^2}\,\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Mặt khác \(MN \subset \left( \alpha \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow n = 0\). Ta có \(\overrightarrow {MN} \left( { - 4;0;3} \right)\)

\( \Rightarrow - 4a + 3c = 0 \Rightarrow c = \dfrac{4}{3}a\)

Thay vào (1) ta có: \(3{a^2} = {b^2} + \dfrac{{16{a^2}}}{9} \Leftrightarrow {b^2} = \dfrac{{11}}{9}{a^2} \Leftrightarrow b = \pm \dfrac{{a\sqrt {11} }}{3}\).

Khi đó ta có: \(\overrightarrow n \left( {a; \pm \dfrac{{a\sqrt {11} }}{3};\dfrac{4}{3}a} \right)\parallel \left( {3; \pm \sqrt {11} ;4} \right)\), do đó \(\overrightarrow {n'} = \left( {3; \pm \sqrt {11} ;4} \right)\) cũng là 1 VTPT của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\). Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \(3\left( {x - 4} \right) \pm \sqrt {11} \left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 3x \pm \sqrt {11} y + 4z - 12 = 0\)

Vậy \(d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {3.0 \pm \sqrt {11} .0 + 4.0 - 12} \right|}}{{\sqrt {9 + 11 + 16} }} = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.