Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tìm các giới hạn sau:

Tìm các giới hạn sau:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{{\sqrt[m]{{1 + bx}} - 1}}\,\,\,\left( {ab \ne 0,m,n \ge 2} \right)\)   

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:395190
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1}}{{\sqrt[m]{{1 + bx}} - 1}}\,\,\,\left( {ab \ne 0,m,n \ge 2} \right)\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + bx}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[m]{{1 + bx}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + bx}} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ax\left( {{{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + bx}} + 1} \right)}}{{bx\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\
= \dfrac{a}{b}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {{{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + bx}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + bx}} + 1} \right)}}{{{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1}}\\
= \dfrac{a}{b}\dfrac{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\,\left( {m\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\,\left( {n\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}} = \dfrac{{am}}{{bn}}
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 2:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \alpha x} .\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {\alpha \beta \gamma  \ne 0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:395191
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \alpha x} .\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {\alpha \beta \gamma  \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + \alpha x}  - 1} \right)\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \beta x}} - 1} \right).\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1}}{x}\\ = {L_1} + {L_2} + {L_3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt {1 + \alpha x}  - 1} \right)\left( {\sqrt {1 + \alpha x}  + 1} \right)\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + \alpha x}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\alpha x\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{x\left( {\sqrt {1 + \alpha x}  + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\alpha \sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{\sqrt {1 + \alpha x}  + 1}} = \frac{\alpha }{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \beta x}} - 1} \right).\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{x}\\\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{1 + \beta x}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{1 + \beta x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + \beta x}} + 1} \right).\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{1 + \beta x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + \beta x}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\beta x.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{x\left( {{{\sqrt[3]{{1 + \beta x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + \beta x}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\beta .\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}}{{{{\sqrt[3]{{1 + \beta x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + \beta x}} + 1}} = \frac{\beta }{3}\end{array}\)

 \(\begin{array}{l}{L_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1}}{x}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^3} + {{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^2} + \sqrt[4]{{1 + \gamma x}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^3} + {{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^2} + \sqrt[4]{{1 + \gamma x}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\gamma x}}{{x\left( {{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^3} + {{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^2} + \sqrt[4]{{1 + \gamma x}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\gamma }{{{{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^3} + {{\sqrt[4]{{1 + \gamma x}}}^2} + \sqrt[4]{{1 + \gamma x}} + 1}} = \frac{\gamma }{4}\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {1 + \alpha x} .\sqrt[3]{{1 + \beta x}}.\sqrt[4]{{1 + \gamma x}} - 1}}{x} = \frac{\alpha }{2} + \frac{\beta }{3} + \frac{\gamma }{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + ax} \right)\left( {1 + bx} \right)\left( {1 + cx} \right)}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {abc \ne 0} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:395192
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + ax} \right)\left( {1 + bx} \right)\left( {1 + cx} \right)}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {abc \ne 0} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + ax}}\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}} - 1}}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + cx}} - 1}}{x}\\ = {L_1} + {L_2} + {L_3}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{x}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + ax}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}}\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax.\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{a\sqrt[n]{{1 + bx}}\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{{{{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + ax}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + ax}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{a.1.1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\,\left( {n\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}} = \frac{a}{n}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{x}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1} \right)\sqrt[n]{{1 + cx}}\left( {{{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + bx}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + bx}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{bx\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + bx}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{b\sqrt[n]{{1 + cx}}}}{{{{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + bx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + bx}} + 1}}\\\,\,\,\,\, = \frac{{b.1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\,\left( {n\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}} = \frac{b}{n}\end{array}\) 

\(\begin{array}{l}{L_3} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + cx}} - 1}}{x}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[n]{{1 + cx}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + cx}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + cx}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{cx}}{{x\left( {{{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + cx}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{c}{{{{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 1}} + {{\sqrt[n]{{1 + cx}}}^{n - 2}} + ... + \sqrt[n]{{1 + cx}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{c}{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\left( {n\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}} = \frac{c}{n}\end{array}\)

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{\left( {1 + ax} \right)\left( {1 + bx} \right)\left( {1 + cx} \right)}} - 1}}{x} = \frac{{a + b + c}}{n}\).

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 4:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{1 + ax}}.\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {ab \ne 0,m,n \ge 2} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:395193
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{1 + ax}}.\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1}}{x}\,\,\,\,\left( {ab \ne 0,m,n \ge 2} \right)\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[m]{{1 + ax}} - 1} \right).\sqrt[n]{{1 + bx}}}}{x} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1}}{x}\\ = {L_1} + {L_2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{L_1} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left( {\sqrt[m]{{1 + ax}} - 1} \right).\sqrt[n]{{1 + bx}}\left( {{{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + ax}} + 1} \right)}}{{x\left( {{{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ax.\sqrt[n]{{1 + bx}}}}{{x\left( {{{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + ax}} + 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{a.\sqrt[n]{{1 + bx}}}}{{{{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 1}} + {{\sqrt[m]{{1 + ax}}}^{m - 2}} + ... + \sqrt[m]{{1 + ax}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{a.1}}{{1 + 1 + 1 + ... + 1\,\,\,\left( {m\,\,chu\,\,so\,\,1} \right)}} = \frac{a}{m}\end{array}\)

Chứng minh tương tự ta có \({L_2} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1}}{x} = \frac{b}{n}\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[m]{{1 + ax}}.\sqrt[n]{{1 + bx}} - 1}}{x} = \frac{a}{m} + \frac{b}{n}\)

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn