Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tìm các giới hạn sau:

Tìm các giới hạn sau:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {1 + 3x}  + \sqrt[3]{{1 - 9x}}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)     

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:395185
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {1 + 3x} - \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + \sqrt[3]{{1 - 9x}} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {1 + 3x} - \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt[3]{{1 - 9x}} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\sqrt {1 + 3x} - \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]\left[ {\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]}}\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left[ {\sqrt[3]{{1 - 9x}} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]\left[ {{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + 3x - {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - 9x + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^3}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 + 3x - \frac{1}{{16}}\left( {9{x^2} + 30x + 25} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{1 - 9x + \frac{1}{{64}}\left( {27{x^3} + 135{x^2} + 225x + 125} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]}}\\
= \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{ - \frac{9}{{16}}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)} \right]}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\frac{{27}}{{64}}{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left( {x + 7} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}\left[ {{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}} \right]}}\\
= - \frac{9}{{16}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{1}{{\sqrt {1 + 3x} + \left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}} + \frac{{27}}{{64}}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{x + 7}}{{{{\sqrt[3]{{1 - 9x}}}^2} - \sqrt[3]{{1 - 9x}}\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right) + {{\left( {\frac{{3x}}{4} + \frac{5}{4}} \right)}^2}}}\\
= - \frac{9}{{16}}.\frac{1}{{2 + 2}} + \frac{{27}}{{64}}.\frac{8}{{{{\left( { - 2} \right)}^2} + 2.2 + {2^2}}} = \frac{9}{{64}}
\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1 - x\sqrt {1 - x} }}{{{x^3} + {x^2}}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:395186
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - 1 - x\sqrt {1 - x} }}{{{x^3} + {x^2}}}\\= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - x - 1 + x - x\sqrt {1 - x} }}{{{x^3} + {x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt[3]{{1 + 3x}} - x - 1}}{{{x^3} + {x^2}}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{x - x\sqrt {1 - x} }}{{{x^3} + {x^2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\left( {1 + 3x} \right) - {{\left( {x + 1} \right)}^3}}}{{\left( {{x^3} + {x^2}} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{1 + 3x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}}\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{{{x^2} + x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 + 3x - {x^3} - 3{x^2} - 3x - 1}}{{\left( {{x^3} + {x^2}} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{1 + 3x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}}\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{1 - 1 + x}}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {1 + \sqrt {1 - x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - {x^3} - 3{x^2}}}{{\left( {{x^3} + {x^2}} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{1 + 3x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}}\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{\left( {{x^2} + x} \right)\left( {1 + \sqrt {1 - x} } \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{ - x - 3}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{1 + 3x}}}^2} + \sqrt[3]{{1 + 3x}}\left( {x + 1} \right) + {{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right)}} + \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left( {x + 1} \right)\left( {1 + \sqrt {1 - x} } \right)}}\\ = \dfrac{{ - 3}}{{1.\left( {1 + 1 + 1} \right)}} + \dfrac{1}{{1.\left( {1 + 1} \right)}} =  - 1 + \dfrac{1}{2} =  - \dfrac{1}{2}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt[4]{{x + 2}} - 1}}{{\sqrt[3]{{x + 2}} - 1}}\) 

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:395187
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\sqrt[4]{{x + 2}} - 1}}{{\sqrt[3]{{x + 2}} - 1}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {\sqrt[4]{{x + 2}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{x + 2}}}^3} + {{\sqrt[4]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[4]{{x + 2}} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[3]{{x + 2}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} - 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[3]{{x + 2}} + 1} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{x + 2}}}^3} + {{\sqrt[4]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[4]{{x + 2}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[3]{{x + 2}} + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{x + 2}}}^3} + {{\sqrt[4]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[4]{{x + 2}} + 1} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1} \frac{{{{\sqrt[3]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[3]{{x + 2}} + 1}}{{{{\sqrt[4]{{x + 2}}}^3} + {{\sqrt[4]{{x + 2}}}^2} + \sqrt[4]{{x + 2}} + 1}}\\ = \frac{{1 + 1 + 1}}{{1 + 1 + 1 + 1}} = \frac{3}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 4:
Vận dụng cao

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x + 6}} - \sqrt[4]{{7x + 2}}}}{{x - 2}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:395188
Phương pháp giải

Tách thành tổng các giới hạn dạng 0/0. Sử dụng phương pháp nhân với biểu thức liên hợp để khử dạng 0/0.

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x + 6}} - \sqrt[4]{{7x + 2}}}}{{x - 2}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x + 6}} - 2 + 2 - \sqrt[4]{{7x + 2}}}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[3]{{x + 6}} - 2}}{{x - 2}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt[4]{{7x + 2}} - 2}}{{x - 2}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt[3]{{x + 6}} - 2} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 6}}}^2} + 2\sqrt[3]{{x + 6}} + 4} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 6}}}^2} + 2\sqrt[3]{{x + 6}} + 4} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt[4]{{7x + 2}} - 2} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^3} + 2{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^2} + {2^2}\sqrt[4]{{7x + 2}} + {2^3}} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^3} + 2{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^2} + {2^2}\sqrt[4]{{7x + 2}} + {2^3}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{{\sqrt[3]{{x + 6}}}^2} + 2\sqrt[3]{{x + 6}} + 4} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{7\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^3} + 2{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^2} + {2^2}\sqrt[4]{{7x + 2}} + {2^3}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{1}{{{{\sqrt[3]{{x + 6}}}^2} + 2\sqrt[3]{{x + 6}} + 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{7}{{{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^3} + 2{{\sqrt[4]{{7x + 2}}}^2} + {2^2}\sqrt[4]{{7x + 2}} + {2^3}}}\\ = \frac{1}{{{2^2} + 2.2 + 4}} - \frac{7}{{{2^3} + {{2.2}^2} + {2^2}.2 + {2^3}}} =  - \frac{{13}}{{96}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn