Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\) Gọi

Câu hỏi số 395914:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn \(\left( {AB < AC} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(I.\) Gọi \(H\) là trực tâm và \(D,\,\,E,\,\,F\) lần lượt là chân các đường cao kẻ từ \(A,\,\,B,\,\,C\) của tam giác \(ABC.\) Kẻ \(DK \bot BE\) tại \(K.\)

a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) nội tiếp và tam giác \(DKH\) đồng dạng với tam giác \(BEC.\)

b) Chứng minh \(\angle BED = \angle BEF.\)

c) Gọi \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(DKE.\) Chứng minh \(IA \bot KG.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395914

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác \(BCEF\) có 2 góc kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau, chứng minh tam giác \(DKH\) đồng dạng với tam giác \(BEC\) theo trường hợp góc – góc.

b) Chứng minh các tứ giác \(DHEC,\,\,AEHF\) là các tứ giác nội tiếp, sử dụng các góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

c) Chứng minh \(G\) là trung điểm của \(DE\). Chứng minh \(KG\parallel EF\).

Kẻ tiếp tuyến \(At\), chứng minh \(At\parallel EF\). Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

a) Vì \(\angle BEC = \angle BFC = {90^0}\,\,\left( {gt} \right)\)\( \Rightarrow BCEF\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

Ta có: \(KD\)//\(AC\) (cùng vuông góc với \(BE\)) \( \Rightarrow \angle KDH = \angle HAC\) (so le trong).

Mà \(\angle HAC = \angle EBC\) (cùng phụ với \(\angle ACB\)) \( \Rightarrow \angle KDH = \angle EBC\)

Xét \(\Delta DKH\) và \(\Delta BEC\) có:

\(\begin{array}{l}\angle KDH = \angle EBC\,\,\left( {cmt} \right);\\\angle DKH = \angle BEC = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow \Delta DKH \sim \Delta BEC\,\,\left( {g.g} \right).\)

b) Dễ thấy các tứ giác \(DHEC,\,\,AEHF\) là các tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).

\( \Rightarrow \angle BED = \angle HED = \angle HCD = \angle BCF\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DH\)).

\(\angle BEF = \angle HEF = \angle HAF = \angle BAD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(HF\)).

Mà \(\angle BAD = \angle BCF\) (cùng phụ với \(\angle ABC\)) nên \(\angle BED = \angle BEF\).

c) Tam giác \(DEK\) vuông tại \(K\) nên \(G\) là trung điểm \(DE,\) khi đó ta có \(KG = \dfrac{1}{2}DE = GD = GE\), suy ra tam giác \(KGE\) cân tại \(G\) \( \Rightarrow \widehat {GKE} = \widehat {BED} = \widehat {BEF}\), mà hai góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau \( \Rightarrow KG\parallel EF\).

Qua \(A\) dựng tiếp tuyến \(At\) với đường tròn \(\left( I \right)\), ta có \(\angle BAt = \angle BCA\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(AB\)).

Mà \(\angle BCA = \angle AFE\) (do tứ giác \(BFEC\) nội tiếp) \( \Rightarrow \angle BAt = \angle AFE\). Lại có 2 góc này ở vị trí hai góc so le trong bằng nhau \( \Rightarrow At\parallel EF\). Mà \(At \bot IA\) (theo cách dựng) nê \(EF \bot IA.\)

Ta có: \(EF \bot IA\), \(KG\parallel EF\). Vậy \(IA \bot KG.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link