Xét các số thực \(a,\,\,b\) sao cho \(b > 1\) , \(\sqrt a \le b < a\), \(P = {\log _{\frac{a}{b}}}a +
Xét các số thực \(a,\,\,b\) sao cho \(b > 1\) , \(\sqrt a \le b < a\), \(P = {\log _{\frac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\) đạt giá trị nhỏ nhất khi:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng các công thức biến đổi logarit và khảo sát hàm số, tìm GTNN.
\(\begin{array}{l}P = {\log _{\dfrac{a}{b}}}a + 2{\log _{\sqrt b }}\left( {\dfrac{a}{b}} \right)\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}\dfrac{a}{b}}} + \dfrac{{2.{{\log }_b}\dfrac{a}{b}}}{{{{\log }_b}\sqrt b }}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}} + \dfrac{{2{{\log }_b}a - 2}}{{\dfrac{1}{2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\log }_b}a}}{{{{\log }_b}a - 1}} + 4{\log _b}a - 4\end{array}\)
Đặt \({\log _b}a = t\), do b > 1, \(\sqrt a \le b < a\) nên \(\dfrac{1}{2} \le {\log _b}a < 1 \Rightarrow t \in \left( {1;2} \right].\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \dfrac{t}{{t - 1}} + 4t - 4\,\,,t \in \left( {1;2} \right]\) có \(f'\left( t \right) = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}} + 4 = \dfrac{{4{{\left( {t - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\)\( = \dfrac{{4{t^2} - 8t + 3}}{{{{\left( {t - 1} \right)}^2}}}\).
\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4{t^2} - 8t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \dfrac{1}{2}\\t = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)
BBT:
Dựa vào BBT \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {\dfrac{1}{2};1} \right)} f\left( t \right) = f\left( {\dfrac{3}{2}} \right) = 5\) khi và chỉ khi \(t = \dfrac{3}{2}\)\( \Leftrightarrow {\log _b}a = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow a = {b^{\dfrac{3}{2}}} \Leftrightarrow {a^2} = {b^3}\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
