Cho hai phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0;\) \({x^2} + 4bx + 3a = 0\) với \(a;\,\,b\) là các số thực.

Câu hỏi số 396415:

Vận dụng

Cho hai phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0;\) \({x^2} + 4bx + 3a = 0\) với \(a;\,\,b\) là các số thực. Chứng minh nếu \(3a + 2b \ge 2\) thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396415

Phương pháp giải

- Tính biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\) của từng phương trình.

- Chứng minh \({\Delta _1} + {\Delta _2}\) hoặc \({\Delta _1}' + {\Delta _2}'\) không âm, từ đó suy ra có ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\) không âm.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có \({\Delta _1}' = 9{a^2} - 2b\).

Phương trình \({x^2} + 4bx + 3a = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) có \({\Delta _2}' = 4{b^2} - 3a\).

Ta có: \({\Delta _1}' + {\Delta _2}' = 9{a^2} + 4{b^2} - \left( {3a + 2b} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 9{a^2} - 6a + 1 + 4{b^2} - 4b + 1 + 3a + 2b - 2\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} + 3a + 2b - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,3a + 2b \ge 2} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _1}' + {\Delta _2}' \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b\) thỏa mãn \(3a + 2b \ge 2\).

Suy trong hai biểu thức \({\Delta _1}',\,\,{\Delta _2}'\) sẽ có ít nhất 1 biểu thức lớn hơn bằng 0.

Do đó ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm (đpcm).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link