Cho hai phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0;\) \({x^2} + 4bx + 3a = 0\) với \(a;\,\,b\) là các số thực.

Câu hỏi số 396415:

Vận dụng

Cho hai phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0;\) \({x^2} + 4bx + 3a = 0\) với \(a;\,\,b\) là các số thực. Chứng minh nếu \(3a + 2b \ge 2\) thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396415

Phương pháp giải

- Tính biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\) của từng phương trình.

- Chứng minh \({\Delta _1} + {\Delta _2}\) hoặc \({\Delta _1}' + {\Delta _2}'\) không âm, từ đó suy ra có ít nhất một trong hai biệt thức \(\Delta \) hoặc \(\Delta '\) không âm.

Giải chi tiết

Xét phương trình \({x^2} + 6ax + 2b = 0\,\,\,\left( 1 \right)\) có \({\Delta _1}' = 9{a^2} - 2b\).

Phương trình \({x^2} + 4bx + 3a = 0\,\,\,\left( 2 \right)\) có \({\Delta _2}' = 4{b^2} - 3a\).

Ta có: \({\Delta _1}' + {\Delta _2}' = 9{a^2} + 4{b^2} - \left( {3a + 2b} \right)\)

\(\begin{array}{l} = 9{a^2} - 6a + 1 + 4{b^2} - 4b + 1 + 3a + 2b - 2\\ = {\left( {3a - 1} \right)^2} + {\left( {2b - 1} \right)^2} + 3a + 2b - 2 \ge 0\,\,\,\,\left( {do\,\,3a + 2b \ge 2} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _1}' + {\Delta _2}' \ge 0\,\,\,\forall a,\,\,b\) thỏa mãn \(3a + 2b \ge 2\).

Suy trong hai biểu thức \({\Delta _1}',\,\,{\Delta _2}'\) sẽ có ít nhất 1 biểu thức lớn hơn bằng 0.

Do đó ít nhất một trong hai phương trình đã cho có nghiệm (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link