Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4x - 3}}{{2x + 1}}\) cùng với 2 tiệm cận

Câu hỏi số 396634:

Vận dụng

Tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4x - 3}}{{2x + 1}}\) cùng với 2 tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích bằng:

A. \(4\).

B. \(7\).

C. \(5\).

D. \(6\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396634

Phương pháp giải

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\)là: \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\).

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{4x - 3}}{{2x + 1}}\) \(\left( C \right)\) có hai tiệm cận là: \(x = - \dfrac{1}{2},\,y = 2\), giao điểm của hai tiệm cận là: \(I\left( { - \dfrac{1}{2};2} \right)\)

Lấy \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right) \in \left( C \right) \Rightarrow {y_0} = \dfrac{{4{x_0} - 3}}{{2{x_0} + 1}}\,\,\left( {{x_0} \ne - \dfrac{1}{2}} \right)\), \(y'\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}\)

PTTT của \(\left( C \right)\) tại điểm M là: \(y = \dfrac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{4{x_0} - 3}}{{2{x_0} + 1}}\,\,\left( d \right)\)

Cho \(x = - \dfrac{1}{2} \Rightarrow \)\(y = \dfrac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( { - \dfrac{1}{2} - {x_0}} \right) + \dfrac{{4{x_0} - 3}}{{2{x_0} + 1}}\)\( = \dfrac{{ - 5}}{{2{x_0} + 1}} + \dfrac{{4{x_0} - 3}}{{2{x_0} + 1}} = \dfrac{{4{x_0} - 8}}{{2{x_0} + 1}}.\)

\( \Rightarrow \)Giao điểm của d và TCĐ của \(\left( C \right)\) là: \(A\left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{{4{x_0} - 8}}{{2{x_0} + 1}}} \right)\)\( \Rightarrow IA = \left| {\dfrac{{4{x_0} - 8}}{{2{x_0} + 1}} - 2} \right| = \left| {\dfrac{{10}}{{2{x_0} + 1}}} \right|.\)

Cho \(y = 2\) ta có:

\(\begin{array}{l}2 = \dfrac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{4{x_0} - 3}}{{2{x_0} + 1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{{{\left( {2{x_0} + 1} \right)}^2}}}.\left( {x - {x_0}} \right) = \dfrac{5}{{2{x_0} + 1}}\\ \Leftrightarrow x - {x_0} = \dfrac{{2{x_0} + 1}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{{4{x_0} + 1}}{2}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giao điểm của d và TCN của \(\left( C \right)\) là: \(B\left( {\dfrac{{4{x_0} + 1}}{2};2} \right)\)\( \Rightarrow IB = \left| {\dfrac{{4{x_0} + 1}}{2} + \dfrac{1}{2}} \right| = \left| {2{x_0} + 1} \right|.\)

Diện tích tam giác tạo thành là: \(S = \dfrac{1}{2}.IA.IB = \dfrac{1}{2}.\left| {\dfrac{{10}}{{2{x_0} + 1}}} \right|.\left| {2{x_0} + 1} \right| = 5\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.