Cho các số thực \(x,y\) dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}}} \right) +

Câu hỏi số 396635:

Vận dụng

Cho các số thực \(x,y\) dương thỏa mãn \({\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}}} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 1 \le 3xy\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{2{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{2xy - {y^2}}}\).

A. \(\dfrac{1}{2}\).

B. \(\dfrac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\).

C. \(\dfrac{3}{2}\).

D. \(\dfrac{5}{2}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396635

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\log _2}\left( {\dfrac{{{x^2} + {y^2}}}{{3xy + {x^2}}}} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 1 \le 3xy\,\,\left( {x,y > 0} \right)\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) - {\log _2}\left( {3xy + {x^2}} \right) + {x^2} + 2{y^2} + 1 \le 3xy\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) + 2{x^2} + 2{y^2} \le {\log _2}\left( {3xy + {x^2}} \right) + {x^2} + 3xy\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _2}t + t\,\,\left( {t > 0} \right)\,\) có: \(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 2}} + 1 > 0,\,\,\forall t > 0\) \( \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow f\left( {2{x^2} + 2{y^2}} \right) \le f\left( {3xy + {x^2}} \right)\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 2{y^2} \le 3xy + {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3xy + 2{y^2} \le 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{x}{y}} \right)^2} - 3.\dfrac{x}{y} + 2 \le 0\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\\ \Leftrightarrow 1 \le \dfrac{x}{y} \le 2\end{array}\)

Ta có: \(P = \dfrac{{2{x^2} - xy + 2{y^2}}}{{2xy - {y^2}}}\)\( = \dfrac{{2{{\left( {\dfrac{x}{y}} \right)}^2} - \dfrac{x}{y} + 2}}{{2.\dfrac{x}{y} - 1}} = \dfrac{{2{t^2} - t + 2}}{{2t - 1}}\,\,\left( {t \in \left[ {1;2} \right]} \right)\)

\( = t + \dfrac{2}{{2t - 1}} = \left( {t - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{t - \dfrac{1}{2}}}} \right) + \dfrac{1}{2} \ge 2\sqrt {\left( {t - \dfrac{1}{2}} \right).\dfrac{1}{{t - \dfrac{1}{2}}}} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(t - \dfrac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow t = \dfrac{3}{2}\) (TM)

\( \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{5}{2}\) khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{2}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.